Номер 208, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

208. Докажите, что в треугольной пирамиде $SABC$ плоский угол $ASB$ больше угла $ASC$ тогда и только тогда, когда двугранный угол $ASCB$ больше двугранного угла $ASBC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методами сферической тригонометрии. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной в точке $S$ и ребрами $SA$, $SB$, $SC$. Пересечем этот трехгранный угол сферой единичного радиуса с центром в точке $S$. На поверхности сферы образуется сферический треугольник, который мы обозначим $A'B'C'$, где $A', B', C'$ — точки пересечения лучей $SA, SB, SC$ со сферой.

В этом сферическом треугольнике:

• Длины сторон (в радианах) равны величинам плоских углов при вершине $S$:
  • сторона $B'C'$ (обозначим $a$) равна $\angle BSC$;
  • сторона $A'C'$ (обозначим $b$) равна $\angle ASC$;
  • сторона $A'B'$ (обозначим $c$) равна $\angle ASB$.
• Величины углов сферического треугольника равны величинам двугранных углов пирамиды при ребрах, исходящих из вершины $S$:
  • угол при вершине $B'$ (обозначим $\phi_B$) равен двугранному углу при ребре $SB$ (угол $ASBC$);
  • угол при вершине $C'$ (обозначим $\phi_C$) равен двугранному углу при ребре $SC$ (угол $ASCB$).

Таким образом, исходную задачу можно переформулировать в терминах сферической геометрии: доказать, что в сферическом треугольнике $A'B'C'$ сторона $c$ больше стороны $b$ тогда и только тогда, когда противолежащий ей угол $\phi_C$ больше угла $\phi_B$, противолежащего стороне $b$. То есть, нам нужно доказать эквивалентность:$c > b \iff \phi_C > \phi_B$.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов для сторон сферического треугольника:$ \cos b = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos \phi_B $$ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \phi_C $

Выразим косинусы углов $\phi_B$ и $\phi_C$ из этих формул:$ \cos \phi_B = \frac{\cos b - \cos a \cos c}{\sin a \sin c} $$ \cos \phi_C = \frac{\cos c - \cos a \cos b}{\sin a \sin b} $

Утверждение $c > b \iff \phi_C > \phi_B$ эквивалентно тому, что разности $c-b$ и $\phi_C-\phi_B$ имеют одинаковый знак. Поскольку плоские и двугранные углы находятся в интервале $(0, \pi)$, а функции $y=x$ и $y=-\cos x$ на этом интервале являются строго возрастающими, то это, в свою очередь, эквивалентно тому, что разности $\cos b - \cos c$ и $\cos \phi_B - \cos \phi_C$ имеют одинаковый знак.

Рассмотрим разность $\cos \phi_B - \cos \phi_C$:$ \cos \phi_B - \cos \phi_C = \frac{\cos b - \cos a \cos c}{\sin a \sin c} - \frac{\cos c - \cos a \cos b}{\sin a \sin b} $Приведем к общему знаменателю $\sin a \sin b \sin c$, который положителен, так как $a, b, c \in (0, \pi)$:$ \cos \phi_B - \cos \phi_C = \frac{\sin b(\cos b - \cos a \cos c) - \sin c(\cos c - \cos a \cos b)}{\sin a \sin b \sin c} $

Рассмотрим числитель $N$:$ N = \sin b \cos b - \cos a \cos c \sin b - \sin c \cos c + \cos a \cos b \sin c $$ N = (\sin b \cos b - \sin c \cos c) + \cos a (\cos b \sin c - \cos c \sin b) $$ N = \frac{1}{2}(\sin(2b) - \sin(2c)) + \cos a \sin(c-b) $Используя формулу разности синусов, получаем:$ N = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(b+c) \sin(b-c) + \cos a \sin(c-b) $$ N = -\cos(b+c) \sin(c-b) + \cos a \sin(c-b) $$ N = \sin(c-b) (\cos a - \cos(b+c)) $

Таким образом,$ \cos \phi_B - \cos \phi_C = \frac{\sin(c-b) (\cos a - \cos(b+c))}{\sin a \sin b \sin c} $

Знаменатель $\sin a \sin b \sin c$ положителен. Теперь докажем, что множитель $(\cos a - \cos(b+c))$ также всегда положителен для невырожденного сферического треугольника. Для сторон сферического треугольника выполняются неравенства:1. $b+c > a$2. $a+b+c < 2\pi \implies b+c < 2\pi - a$Следовательно, $a < b+c < 2\pi - a$. Рассмотрим два случая:

1. Если $b+c \le \pi$. Так как $a < b+c$ и функция косинус убывает на интервале $(0, \pi]$, то $\cos a > \cos(b+c)$.
2. Если $b+c > \pi$. Обозначим $x = 2\pi - (b+c)$. Из $b+c < 2\pi - a$ следует, что $x > a$. Из $b+c > \pi$ следует, что $x < \pi$. Итак, $a < x < \pi$. Поскольку косинус убывает на $(0, \pi)$, то $\cos a > \cos x$. Но $\cos x = \cos(2\pi - (b+c)) = \cos(b+c)$. Следовательно, и в этом случае $\cos a > \cos(b+c)$.

Таким образом, множитель $(\cos a - \cos(b+c))$ всегда положителен.

Итак, мы получили, что знак разности $\cos \phi_B - \cos \phi_C$ совпадает со знаком $\sin(c-b)$.$ \text{sign}(\cos \phi_B - \cos \phi_C) = \text{sign}(\sin(c-b)) $

Поскольку $b, c \in (0, \pi)$, то $c-b \in (-\pi, \pi)$. На этом интервале знак $\sin(c-b)$ совпадает со знаком $(c-b)$. Следовательно, $\text{sign}(\cos \phi_B - \cos \phi_C) = \text{sign}(c-b)$.

Это означает, что:

• Если $c > b$, то $c-b > 0$, значит $\cos \phi_B - \cos \phi_C > 0$, что эквивалентно $\cos \phi_B > \cos \phi_C$. Так как косинус убывает на $(0, \pi)$, то $\phi_B < \phi_C$, то есть $\phi_C > \phi_B$.
• Если $\phi_C > \phi_B$, то $\phi_C-\phi_B > 0$, значит $\cos \phi_B - \cos \phi_C > 0$. Отсюда следует, что $c-b>0$, то есть $c > b$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle ASB > \angle ASC$ тогда и только тогда, когда двугранный угол $ASCB$ больше двугранного угла $ASBC$.

Ответ: Утверждение доказано.