Номер 201, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

201. Докажите, что из всех прямых, проходящих в одной грани двугранного угла через данную точку, наибольший угол с другой гранью этого двугранного угла образует прямая, перпендикулярная ребру двугранного угла.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $c$ (ребро двугранного угла). Пусть в плоскости $\alpha$ задана точка $A$. Мы ищем прямую, проходящую через точку $A$ в плоскости $\alpha$, которая образует наибольший угол с плоскостью $\beta$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Этот угол всегда острый (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Выполним следующие построения:

1. Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $\beta$. Длина отрезка $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$.
2. В плоскости $\alpha$ проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную ребру $c$. Пусть эта прямая пересекает ребро $c$ в точке $B$. Таким образом, $AB \perp c$.
3. В плоскости $\alpha$ проведем через точку $A$ произвольную другую прямую, которая пересекает ребро $c$ в точке $D$ ($D$ не совпадает с $B$).

Теперь найдем углы, которые прямые $AB$ и $AD$ образуют с плоскостью $\beta$.

• Для прямой $AB$: отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\beta$. Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол $\phi_1 = \angle ABH$.
• Для прямой $AD$: отрезок $HD$ является проекцией наклонной $AD$ на плоскость $\beta$. Угол между прямой $AD$ и плоскостью $\beta$ — это угол $\phi_2 = \angle ADH$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHD$. Они оба прямоугольные с прямым углом при вершине $H$, так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а значит, $AH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$.

Из этих треугольников можем выразить синусы искомых углов:

$\sin(\phi_1) = \frac{AH}{AB}$

$\sin(\phi_2) = \frac{AH}{AD}$

Теперь сравним длины наклонных $AB$ и $AD$. Оба этих отрезка лежат в плоскости $\alpha$. По построению, $AB$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $c$, а $AD$ — это наклонная, проведенная из той же точки $A$ к прямой $c$. В евклидовой геометрии длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, является наименьшим расстоянием от этой точки до прямой. Следовательно, длина перпендикуляра $AB$ меньше длины любой наклонной $AD$.

$AB < AD$

Так как $AB < AD$, а числители в выражениях для синусов ($AH$) одинаковы, то дробь с меньшим знаменателем будет больше:

$\frac{AH}{AB} > \frac{AH}{AD}$

Следовательно:

$\sin(\phi_1) > \sin(\phi_2)$

Поскольку углы $\phi_1$ и $\phi_2$ являются острыми (по определению угла между прямой и плоскостью), и на интервале $(0, 90^\circ)$ функция синуса монотонно возрастает, то из неравенства для синусов следует такое же неравенство для углов:

$\phi_1 > \phi_2$

Это означает, что угол, образованный прямой $AB$ (перпендикулярной ребру $c$) с плоскостью $\beta$, больше угла, образованного любой другой прямой $AD$ с той же плоскостью. Таким образом, мы доказали, что искомая прямая — это прямая, перпендикулярная ребру двугранного угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из всех прямых, проходящих в одной грани двугранного угла через данную точку, наибольший угол с другой гранью этого двугранного угла образует прямая, перпендикулярная ребру двугранного угла.