Номер 194, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

194. В тетраэдре $ABCD$ сумма плоских углов при вершине $A$ равна $180^\circ$. Найдите сумму косинусов двугранных углов с ребрами $AB, AC$ и $AD$.

Пусть плоские углы при вершине $A$ тетраэдра $ABCD$ равны:$\angle DAB = \alpha$, $\angle CAD = \beta$, $\angle BAC = \gamma$. По условию задачи, сумма этих углов равна $180^\circ$:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Требуется найти сумму косинусов двугранных углов при ребрах $AB$, $AC$ и $AD$. Обозначим эти двугранные углы как $\phi_{AB}$, $\phi_{AC}$ и $\phi_{AD}$ соответственно. Для нахождения связи между плоскими и двугранными углами трехгранного угла воспользуемся первой теоремой косинусов для сферического треугольника.

Теорема косинусов для трехгранного угла, образованного ребрами $AB, AC, AD$, записывается для каждого плоского угла следующим образом:

1. Для угла $\gamma = \angle BAC$, противолежащим которому является двугранный угол при ребре $AD$ ($\phi_{AD}$):
$\cos(\gamma) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta) \cos(\phi_{AD})$

2. Для угла $\alpha = \angle DAB$, противолежащим которому является двугранный угол при ребре $AC$ ($\phi_{AC}$):
$\cos(\alpha) = \cos(\beta) \cos(\gamma) + \sin(\beta) \sin(\gamma) \cos(\phi_{AC})$

3. Для угла $\beta = \angle CAD$, противолежащим которому является двугранный угол при ребре $AB$ ($\phi_{AB}$):
$\cos(\beta) = \cos(\gamma) \cos(\alpha) + \sin(\gamma) \sin(\alpha) \cos(\phi_{AB})$

Из этих уравнений выразим косинусы двугранных углов:
$\cos(\phi_{AD}) = \frac{\cos(\gamma) - \cos(\alpha) \cos(\beta)}{\sin(\alpha) \sin(\beta)}$
$\cos(\phi_{AC}) = \frac{\cos(\alpha) - \cos(\beta) \cos(\gamma)}{\sin(\beta) \sin(\gamma)}$
$\cos(\phi_{AB}) = \frac{\cos(\beta) - \cos(\gamma) \cos(\alpha)}{\sin(\gamma) \sin(\alpha)}$

Теперь воспользуемся условием $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Из него следуют соотношения:
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \implies \cos(\gamma) = \cos(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)$
$\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) \implies \cos(\alpha) = -\cos(\beta + \gamma)$
$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) \implies \cos(\beta) = -\cos(\alpha + \gamma)$

Подставим эти выражения в формулы для косинусов двугранных углов, используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$:

$\cos(\phi_{AD}) = \frac{-\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha) \cos(\beta)}{\sin(\alpha) \sin(\beta)} = \frac{-(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) - \cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\sin\beta - 2\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = 1 - 2\cot\alpha\cot\beta$

Аналогично, выполнив циклические замены переменных, получаем:
$\cos(\phi_{AC}) = 1 - 2\cot\beta\cot\gamma$
$\cos(\phi_{AB}) = 1 - 2\cot\gamma\cot\alpha$

Теперь найдем искомую сумму косинусов:
$S = \cos(\phi_{AB}) + \cos(\phi_{AC}) + \cos(\phi_{AD})$
$S = (1 - 2\cot\gamma\cot\alpha) + (1 - 2\cot\beta\cot\gamma) + (1 - 2\cot\alpha\cot\beta)$
$S = 3 - 2(\cot\alpha\cot\beta + \cot\beta\cot\gamma + \cot\gamma\cot\alpha)$

Для углов, сумма которых равна $180^\circ$, справедливо тригонометрическое тождество:
$\cot\alpha\cot\beta + \cot\beta\cot\gamma + \cot\gamma\cot\alpha = 1$

Доказательство тождества:
Из $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$ следует $\cot(\alpha + \beta) = \cot(180^\circ - \gamma) = -\cot\gamma$.
Используя формулу котангенса суммы $\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta - 1}{\cot\alpha + \cot\beta}$, получаем:
$\frac{\cot\alpha\cot\beta - 1}{\cot\alpha + \cot\beta} = -\cot\gamma$
$\cot\alpha\cot\beta - 1 = -\cot\gamma(\cot\alpha + \cot\beta)$
$\cot\alpha\cot\beta - 1 = -\cot\gamma\cot\alpha - \cot\gamma\cot\beta$
$\cot\alpha\cot\beta + \cot\beta\cot\gamma + \cot\gamma\cot\alpha = 1$

Подставим значение этого выражения в формулу для суммы $S$:
$S = 3 - 2 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1