Номер 189, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

189. В треугольной пирамиде все ребра основания равны $a$, а боковые ребра — $b$. Найдите угол между:

a) боковым ребром и плоскостью основания;

б) ребром основания и плоскостью боковой грани.

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, у которой основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, а боковые ребра $SA = SB = SC = b$.

Так как все боковые ребра равны, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания $ABC$. Для равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с центром треугольника (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис).

а) боковым ребром и плоскостью основания;

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. Возьмем боковое ребро $SA$. Его проекцией на плоскость основания $(ABC)$ является отрезок $OA$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^{\circ}$, так как $SO$ — высота пирамиды). В этом треугольнике:

• гипотенуза $SA = b$ (по условию);
• катет $OA$ является радиусом $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$:

$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Теперь из треугольника $\triangle SAO$ найдем косинус угла $\angle SAO$ (обозначим его как $\alpha$):

$\cos \alpha = \cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA} = \frac{a\sqrt{3}/3}{b} = \frac{a\sqrt{3}}{3b}$

Следовательно, искомый угол равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{a\sqrt{3}}{3b}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{a\sqrt{3}}{3b}\right)$

б) ребром основания и плоскостью боковой грани.

Найдем угол между ребром основания $AC$ и плоскостью боковой грани $(SBC)$. Обозначим этот угол как $\beta$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Этот угол $\beta$ можно найти по формуле $\sin \beta = \frac{h}{l}$, где $l$ — длина отрезка прямой (в нашем случае $AC=a$), а $h$ — расстояние от любой точки прямой (например, $A$) до плоскости.

Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$ методом объемов. Обозначим это расстояние как $h_A$.

Объем пирамиды $SABC$ можно вычислить двумя способами:

1. С основанием $ABC$ и высотой $SO$: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SO$

2. С основанием $SBC$ и высотой $h_A$ (рассматривая пирамиду $ASBC$): $V = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A$

Приравняв оба выражения, получим: $S_{ABC} \cdot SO = S_{SBC} \cdot h_A$, откуда $h_A = \frac{S_{ABC} \cdot SO}{S_{SBC}}$.

Вычислим необходимые величины:

1. Площадь основания $S_{ABC}$ (равносторонний треугольник):

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Высота пирамиды $SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$ по теореме Пифагора:

$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3}}$

3. Площадь боковой грани $S_{SBC}$. Треугольник $SBC$ — равнобедренный с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$. Проведем апофему (высоту) $SM$ к основанию $BC$. $M$ — середина $BC$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SMB$:

$SM = \sqrt{SB^2 - BM^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$

Тогда площадь $S_{SBC}$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}$

Теперь найдем расстояние $h_A$:

$h_A = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3}}}{\frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}} = \frac{a^2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{\sqrt{3}}}{a\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{a^2\sqrt{3b^2 - a^2}}{a\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$

Искомый угол $\beta$ найдем из соотношения $\sin \beta = \frac{h_A}{AC} = \frac{h_A}{a}$:

$\sin \beta = \frac{1}{a} \cdot \frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{\sqrt{4b^2 - a^2}} = \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{4b^2 - a^2}}$

Следовательно, искомый угол равен:

$\beta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{4b^2-a^2}}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{4b^2-a^2}}\right)$