Номер 182, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

182. Точка $M$ находится на расстоянии 29 от точек $A$, $B$ и $C$ и на расстоянии 21 от плоскости $ABC$ (рис. 74). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рис. 74

Пусть H — это проекция точки M на плоскость ABC. По определению, отрезок MH является перпендикуляром к плоскости ABC, а его длина равна расстоянию от точки M до этой плоскости. Таким образом, $MH = 21$.

По условию задачи, точка M находится на одинаковом расстоянии от точек A, B и C. Это означает, что наклонные MA, MB и MC, проведенные из точки M к плоскости, равны: $MA = MB = MC = 29$.

Рассмотрим три прямоугольных треугольника: $\triangle MHA$, $\triangle MHB$ и $\triangle MHC$. У этих треугольников:

• общий катет MH;
• гипотенузы равны ($MA = MB = MC$).

Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $HA = HB = HC$.

Поскольку точка H в плоскости ABC равноудалена от вершин треугольника A, B и C, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Радиус этой окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой из вершин, то есть $R = HA$.

Теперь найдем радиус R, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MHA:

$MA^2 = MH^2 + HA^2$

Подставим известные значения:

$29^2 = 21^2 + R^2$

Выразим $R^2$:

$R^2 = 29^2 - 21^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$R^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$

Найдем радиус R:

$R = \sqrt{400} = 20$

Ответ: 20.