Номер 177, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

177. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = CC_1$. Найдите угол между прямыми:

a) $BB_1$ и $AD$;

б) $AB_1$ и $CD$;

в) $A_1B$ и $AD$.

а) BB₁ и AD

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$. Следовательно, угол между прямыми $BB_1$ и $AD$ равен углу между прямыми $AA_1$ и $AD$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, а следовательно, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ABCD$.

Таким образом, $AA_1 \perp AD$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) AB₁ и CD

Прямые $AB_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. В прямоугольном параллелепипеде ребро $CD$ параллельно ребру $AB$. Поэтому угол между прямыми $AB_1$ и $CD$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $AB$.

Прямые $AB_1$ и $AB$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Угол между ними — это угол $\angle B_1AB$.

По условию задачи $AB = CC_1$. В прямоугольном параллелепипеде все боковые ребра равны, то есть $CC_1 = BB_1$. Отсюда следует, что $AB = BB_1$.

Грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником, у которого две смежные стороны ($AB$ и $BB_1$) равны. Следовательно, грань $ABB_1A_1$ — это квадрат.

Отрезок $AB_1$ является диагональю этого квадрата. Угол между диагональю и стороной квадрата равен $45^\circ$. Значит, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

в) A₁B и AD

Прямые $A_1B$ и $AD$ являются скрещивающимися. Найдем угол между ними с помощью теоремы о трёх перпендикулярах.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Таким образом, $A_1A$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$, $A_1B$ — наклонная к этой плоскости, а $AB$ — её проекция на плоскость $(ABC)$.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через основание наклонной (точку $A$). Основание параллелепипеда $ABCD$ является прямоугольником, поэтому его стороны $AD$ и $AB$ перпендикулярны: $AD \perp AB$.

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Так как $AD \perp AB$, то $AD \perp A_1B$.

Следовательно, угол между прямыми $A_1B$ и $AD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.