Номер 176, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

176. В треугольной пирамиде $ABCD$ $AB = BC$, $AD = BD = CD$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Рассмотрим грани заданной треугольной пирамиды $ABCD$.

1. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как по условию $AB = BC$. Основанием этого треугольника является сторона $AC$.

2. Проведем медиану $BM$ к основанию $AC$ в треугольнике $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$.

3. Рассмотрим треугольник $ACD$. Из условия задачи $AD = BD = CD$, что означает, в частности, что $AD = CD$. Следовательно, треугольник $ACD$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

4. Точка $M$ является серединой $AC$. Значит, отрезок $DM$ — это медиана треугольника $ACD$, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике $ACD$ медиана к основанию является и высотой, поэтому $DM \perp AC$.

5. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $DM$. Эти две прямые лежат в одной плоскости и определяют ее — плоскость $(BDM)$.

6. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BDM)$.

7. Прямая $BD$ полностью лежит в плоскости $(BDM)$, так как обе точки $B$ и $D$ принадлежат этой плоскости.

8. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BD$.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.