Номер 174, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

174. В правильной пирамиде SABC ребро основания равно $a$, а высота — $h$ (рис. 72). Найдите расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним высотой основания.

Рис. 72

Для решения задачи введем систему координат. Поскольку пирамида $SABC$ правильная, ее основанием является равносторонний треугольник $ABC$, а вершина $S$ проецируется в центр этого треугольника — точку $O$.

Пусть центр основания $O$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Высота пирамиды $SO$ будет лежать на оси $Oz$, тогда координаты вершины $S$ будут $(0, 0, h)$. Основание $ABC$ лежит в плоскости $Oxy$.

Расположим вершины основания в плоскости $Oxy$. Пусть высота (и медиана) $AM$ треугольника $ABC$ лежит на оси $Oy$. В равностороннем треугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до вершины (радиус описанной окружности) равно $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, а расстояние от центра до середины стороны (радиус вписанной окружности) равно $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Тогда координаты вершин основания будут:

• $A = (0, R, 0) = (0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)$
• $B = (-\frac{a}{2}, -r, 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, 0)$
• $C = (\frac{a}{2}, -r, 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, 0)$

Нам нужно найти расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним высотой основания. Выберем в качестве бокового ребра ребро SC, а в качестве скрещивающейся с ним высоты основания — высоту AM.

Прямая $AM$ совпадает с осью $Oy$. Прямая $SC$ проходит через точки $S(0, 0, h)$ и $C(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние методом построения параллельной плоскости. Найдем расстояние от прямой $AM$ до плоскости $\Pi$, которая проходит через прямую $SC$ параллельно прямой $AM$.

Так как расстояние от прямой до параллельной ей плоскости одинаково в любой точке, мы можем найти расстояние от точки $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)$ до этой плоскости.

1. Составление уравнения плоскости $\Pi$.

Плоскость $\Pi$ проходит через точку $S(0, 0, h)$ и имеет два направляющих вектора: вектор $\vec{SC}$ и вектор, параллельный $AM$. Вектор $\vec{AM}$ направлен вдоль оси $Oy$, поэтому его направляющий вектор $\vec{j} = (0, 1, 0)$.

Направляющий вектор прямой $SC$: $\vec{v_{SC}} = C - S = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, -h)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ будет перпендикулярен обоим направляющим векторам, найдем его через векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{v_{SC}} \times \vec{j} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & -\frac{a\sqrt{3}}{6} & -h \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-h)) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(\frac{a}{2} - 0) = (h, 0, \frac{a}{2})$

Уравнение плоскости $\Pi$, проходящей через точку $S(0, 0, h)$ с вектором нормали $\vec{n} = (h, 0, \frac{a}{2})$, имеет вид:$h(x - 0) + 0(y - 0) + \frac{a}{2}(z - h) = 0$$hx + \frac{a}{2}z - \frac{ah}{2} = 0$Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:$2hx + az - ah = 0$

2. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)$ до плоскости $2hx + az - ah = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=2h, B=0, C=a, D=-ah$ и точка $(x_0, y_0, z_0) = (0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)$.$d = \frac{|2h \cdot 0 + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} + a \cdot 0 - ah|}{\sqrt{(2h)^2 + 0^2 + a^2}} = \frac{|-ah|}{\sqrt{4h^2 + a^2}} = \frac{ah}{\sqrt{4h^2 + a^2}}$

Ответ: $\frac{ah}{\sqrt{4h^2 + a^2}}$