Номер 168, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

168*. В прямоугольном параллелепипеде скрещивающиеся диагонали соседних граней наклонены к плоскости основания под углами $\alpha$ и $\beta$ (рис. 70). Найдите угол между этими диагоналями.

Рис. 70

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ — боковые ребра. Пусть длины ребер параллелепипеда равны $AB=a$, $BC=b$ и $BB_1=c$.

В задаче говорится о скрещивающихся диагоналях соседних граней. Возьмем соседние грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Их скрещивающимися диагоналями являются, например, $AB_1$ и $BC_1$.

Угол наклона диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Согласно условию задачи и рисунку, угол $\beta$ является углом наклона диагонали одной грани, а $\alpha$ — углом наклона диагонали соседней грани.

Проекцией диагонали $AB_1$ на плоскость основания $ABCD$ является ребро $AB$. Следовательно, угол наклона этой диагонали, который мы сопоставим с углом $\beta$, равен $\angle B_1AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1AB$ (с прямым углом $\angle B_1BA$) катеты равны $AB=a$ и $BB_1=c$. Тогда $\tan \beta = \frac{BB_1}{AB} = \frac{c}{a}$.

Проекцией диагонали $BC_1$ на плоскость основания $ABCD$ является ребро $BC$. Следовательно, угол наклона этой диагонали, который мы сопоставим с углом $\alpha$, равен $\angle C_1BC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1BC$ (с прямым углом $\angle C_1CB$) катеты равны $BC=b$ и $CC_1=c$. Тогда $\tan \alpha = \frac{CC_1}{BC} = \frac{c}{b}$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$ можно найти как угол между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Выполним параллельный перенос прямой $AB_1$ на вектор $\vec{AD}$. При этом точка $A$ перейдет в точку $D$, а точка $B_1$ перейдет в точку $C_1$ (поскольку $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ — равные и параллельные грани). Таким образом, прямая $AB_1$ отобразится на прямую $DC_1$. Искомый угол $\phi$ между $AB_1$ и $BC_1$ будет равен углу между прямыми $DC_1$ и $BC_1$, то есть углу $\angle BC_1D$ в треугольнике $\triangle BC_1D$.

Найдем длины сторон треугольника $\triangle BC_1D$, чтобы затем по теореме косинусов определить угол $\phi$.
1. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Из прямоугольного треугольника $\triangle BCC_1$: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + c^2$.
2. Сторона $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Из прямоугольного треугольника $\triangle DCC_1$: $DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = a^2 + c^2$ (поскольку $DC=AB=a$).
3. Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + a^2$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle BC_1D$ для нахождения $\cos \phi$:
$BD^2 = BC_1^2 + DC_1^2 - 2 \cdot BC_1 \cdot DC_1 \cdot \cos \phi$
$a^2 + b^2 = (b^2 + c^2) + (a^2 + c^2) - 2 \sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2} \cos\phi$
$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 - 2 \sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2} \cos\phi$
Перенося члены, получаем:
$0 = 2c^2 - 2 \sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2} \cos\phi$
$2c^2 = 2 \sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2} \cos\phi$
Отсюда выражаем $\cos \phi$:
$\cos\phi = \frac{c^2}{\sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2}}$

Теперь воспользуемся соотношениями, связывающими стороны с углами $\alpha$ и $\beta$. Из $\tan \alpha = \frac{c}{b}$ и $\tan \beta = \frac{c}{a}$ выразим длины диагоналей граней:
$\sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{b^2 + (b \tan \alpha)^2} = \sqrt{b^2(1 + \tan^2 \alpha)} = \sqrt{b^2 \sec^2 \alpha} = \frac{b}{\cos \alpha}$ (поскольку $b>0$ и $\alpha$ — острый угол).
$\sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + (a \tan \beta)^2} = \sqrt{a^2(1 + \tan^2 \beta)} = \sqrt{a^2 \sec^2 \beta} = \frac{a}{\cos \beta}$.

Подставим эти выражения в формулу для косинуса угла $\phi$:
$\cos\phi = \frac{c^2}{(\frac{b}{\cos \alpha}) \cdot (\frac{a}{\cos \beta})} = \frac{c^2 \cos \alpha \cos \beta}{ab}$.
Так как $c = b \tan \alpha$ и $c = a \tan \beta$, то $c^2 = (b \tan \alpha)(a \tan \beta) = ab \tan \alpha \tan \beta$.
Подставим это в выражение для косинуса:
$\cos\phi = \frac{ab \tan \alpha \tan \beta \cos \alpha \cos \beta}{ab} = \tan \alpha \tan \beta \cos \alpha \cos \beta$
$\cos\phi = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \left(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \sin \beta$.

Таким образом, косинус угла между скрещивающимися диагоналями равен произведению синусов углов их наклона к плоскости основания. Искомый угол $\phi$ равен $\arccos(\sin \alpha \sin \beta)$.

Ответ: $\arccos(\sin \alpha \sin \beta)$.