Номер 166, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

166. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен $\frac{1}{4}$, а ребро основания — $a$. Найдите боковое ребро.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть боковое ребро призмы равно $h$.

Введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $B$. Ось $x$ направим вдоль ребра $BC$, ось $z$ — вдоль бокового ребра $BB_1$. Так как призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи:

• $B(0, 0, 0)$
• Поскольку ребро основания равно $a$, то $C(a, 0, 0)$.
• Координаты вершины $A$ найдем, учитывая, что $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной $a$. Угол $\angle ABC = 60^\circ$. Проекция точки $A$ на ось $x$ будет $x_A = AB \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$. Проекция на ось $y$ будет $y_A = AB \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $A(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершины верхнего основания смещены по оси $z$ на величину $h$: $B_1(0, 0, h)$ и $C_1(a, 0, h)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AB_1$ и $BC_1$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a - 0, 0 - 0, h - 0) = (a, 0, h)$

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми (векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$) вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + h \cdot h = h^2 - \frac{a^2}{2}$

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла. По условию $\cos \alpha = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{(\sqrt{a^2 + h^2}) \cdot (\sqrt{a^2 + h^2})} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{a^2 + h^2}$

Раскрытие модуля приводит к двум возможным случаям:

1. $h^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{1}{4}(a^2 + h^2)$

Умножим обе части на 4:

$4(h^2 - \frac{a^2}{2}) = a^2 + h^2$

$4h^2 - 2a^2 = a^2 + h^2$

$3h^2 = 3a^2$

$h^2 = a^2$

Так как $h$ — длина ребра, $h > 0$, следовательно, $h = a$.

2. $h^2 - \frac{a^2}{2} = -\frac{1}{4}(a^2 + h^2)$

Умножим обе части на 4:

$4(h^2 - \frac{a^2}{2}) = -(a^2 + h^2)$

$4h^2 - 2a^2 = -a^2 - h^2$

$5h^2 = a^2$

$h^2 = \frac{a^2}{5}$

Так как $h > 0$, следовательно, $h = \frac{a}{\sqrt{5}}$.

Оба значения являются решениями задачи.

Ответ: боковое ребро равно $a$ или $\frac{a}{\sqrt{5}}$.