Номер 162, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

162. Докажите, что диагональ $AC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна плоскостям $B_1CD_1$ и $A_1BD$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(a, 0, 0)$,

$A_1(0, 0, a)$, $B_1(0, a, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(a, 0, a)$.

Найдем координаты вектора диагонали $AC_1$:

$\vec{AC_1} = \{C_{1x} - A_x; C_{1y} - A_y; C_{1z} - A_z\} = \{a-0; a-0; a-0\} = \{a, a, a\}$.

Доказательство перпендикулярности $AC_1$ плоскости $B_1CD_1$

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $(B_1CD_1)$. Возьмем векторы $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Найдем их координаты:

$\vec{CB_1} = \{B_{1x} - C_x; B_{1y} - C_y; B_{1z} - C_z\} = \{0-a; a-a; a-0\} = \{-a, 0, a\}$.

$\vec{CD_1} = \{D_{1x} - C_x; D_{1y} - C_y; D_{1z} - C_z\} = \{a-a; 0-a; a-0\} = \{0, -a, a\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AC_1}$ с каждым из этих векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

$\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1} = a \cdot (-a) + a \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Следовательно, $AC_1 \perp CB_1$.

$\vec{AC_1} \cdot \vec{CD_1} = a \cdot 0 + a \cdot (-a) + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Следовательно, $AC_1 \perp CD_1$.

Так как диагональ $AC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CB_1$ и $CD_1$ в плоскости $(B_1CD_1)$, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Ответ: Доказано, что диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $B_1CD_1$.

Доказательство перпендикулярности $AC_1$ плоскости $A_1BD$

Аналогично докажем перпендикулярность диагонали $AC_1$ плоскости $(A_1BD)$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1D}$.

Найдем их координаты:

$\vec{A_1B} = \{B_x - A_{1x}; B_y - A_{1y}; B_z - A_{1z}\} = \{0-0; a-0; 0-a\} = \{0, a, -a\}$.

$\vec{A_1D} = \{D_x - A_{1x}; D_y - A_{1y}; D_z - A_{1z}\} = \{a-0; 0-0; 0-a\} = \{a, 0, -a\}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AC_1}$ с каждым из этих векторов.

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$.

Следовательно, $AC_1 \perp A_1B$.

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D} = a \cdot a + a \cdot 0 + a \cdot (-a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$.

Следовательно, $AC_1 \perp A_1D$.

Так как диагональ $AC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_1B$ и $A_1D$ в плоскости $(A_1BD)$, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Ответ: Доказано, что диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.