Номер 158, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

158. Расстояния от концов отрезка до плоскости $\alpha$ равны 3 и 7. Каким может быть расстояние от середины этого отрезка до плоскости $\alpha$?

Пусть дан отрезок $AB$, середина которого — точка $M$. Пусть плоскость — $\alpha$. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим проекции точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$ как $A'$, $B'$ и $M'$ соответственно. Тогда по условию задачи длины перпендикуляров $AA'$ и $BB'$ равны 3 и 7. Нам необходимо найти длину перпендикуляра $MM'$.

Существует два возможных варианта расположения отрезка $AB$ относительно плоскости $\alpha$, которые приводят к разным ответам.

Случай 1: Концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости

В этом случае отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Прямые $AA'$, $BB'$ и $MM'$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, а значит, параллельны друг другу. Рассмотрим фигуру $AA'B'B$ — это трапеция (в общем случае), у которой параллельные стороны $AA'$ и $BB'$. Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то отрезок $MM'$ является средней линией трапеции $AA'B'B$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$MM' = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставим известные значения расстояний:

$MM' = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

В этом случае расстояние от середины отрезка до плоскости равно 5.

Случай 2: Концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости

В этом случае отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Для решения воспользуемся методом координат. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с координатной плоскостью $z=0$. Тогда расстояние от любой точки $(x, y, z)$ до плоскости $\alpha$ равно $|z|$.

Пусть координаты концов отрезка: $A = (x_A, y_A, z_A)$ и $B = (x_B, y_B, z_B)$. По условию, $|z_A| = 3$ и $|z_B| = 7$.

Поскольку точки находятся по разные стороны от плоскости, их z-координаты имеют противоположные знаки. Без ограничения общности, пусть $z_A = 3$ и $z_B = -7$.

Координаты середины отрезка $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$

Найдем z-координату точки $M$:

$z_M = \frac{z_A+z_B}{2} = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно модулю ее z-координаты:

$MM' = |z_M| = |-2| = 2$

В этом случае расстояние от середины отрезка до плоскости равно 2.

Таким образом, в зависимости от расположения отрезка относительно плоскости, расстояние от его середины до плоскости может принимать два различных значения.

Ответ: 5 или 2.