Номер 152, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

152. Прямая $MQ$ перпендикулярна плоскости окружности с центром $Q$. Точка $N$ принадлежит окружности. Найдите длину отрезка $MN$, учитывая, что радиус окружности равен $12$ см и $\angle MNQ = 60^{\circ}$.

Согласно условию задачи, прямая $MQ$ перпендикулярна плоскости окружности, центром которой является точка $Q$. Точка $N$ расположена на этой окружности, следовательно, отрезок $QN$ является радиусом окружности и лежит в её плоскости.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. В нашем случае это означает, что прямая $MQ$ перпендикулярна радиусу $QN$.

Таким образом, треугольник $MNQ$ является прямоугольным, где $\angle MQN = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны:
- Катет $QN$, равный радиусу окружности: $QN = 12$ см.
- Острый угол $\angle MNQ = 60^\circ$.
- Отрезок $MN$, который является гипотенузой и длину которого необходимо найти.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $\angle MNQ$ прилежащим катетом является $QN$, а гипотенузой — $MN$.
$\cos(\angle MNQ) = \frac{QN}{MN}$

Выразим из этой формулы искомую гипотенузу $MN$:
$MN = \frac{QN}{\cos(\angle MNQ)}$

Подставим известные значения: $QN = 12$ см и $\angle MNQ = 60^\circ$. Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
$MN = \frac{12}{\cos(60^\circ)} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: 24 см.