Номер 147, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

147. В пирамиде $ABCD$ медиана к стороне $AD$ в треугольнике $ABD$ равна половине $AD$, а медиана к стороне $CD$ в треугольнике $BCD$ — половине $CD$ (рис. 63). Можно ли утверждать, что прямая $BD$ и плоскость $ABC$ перпендикулярны?

Рассмотрим треугольник $ABD$. Пусть $M$ — середина стороны $AD$. Тогда $BM$ — медиана к стороне $AD$. По условию, длина этой медианы равна половине стороны $AD$, то есть $BM = \frac{1}{2} AD$.

В треугольнике $ABD$ медиана $BM$ равна половине стороны $AD$, к которой она проведена ($BM = AM = MD$). Свойство треугольника, в котором медиана равна половине стороны, к которой она проведена, заключается в том, что этот треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий этой стороне, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный, и $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AB$ ($BD \perp AB$).

Аналогично рассмотрим треугольник $BCD$. Пусть $N$ — середина стороны $CD$. Тогда $BN$ — медиана к стороне $CD$. По условию, $BN = \frac{1}{2} CD$.

Так как в треугольнике $BCD$ медиана $BN$ равна половине стороны $CD$, к которой она проведена ($BN = CN = ND$), то треугольник $BCD$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Таким образом, $\angle CBD = 90^\circ$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна прямой $CB$ ($BD \perp CB$).

Итак, мы установили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум прямым: $AB$ и $CB$. Эти две прямые ($AB$ и $CB$) лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $B$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае прямая $BD$ перпендикулярна пересекающимся прямым $AB$ и $CB$ из плоскости $ABC$. Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Да, можно утверждать, что прямая $BD$ и плоскость $ABC$ перпендикулярны.