Номер 144, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

144. Вне плоскости треугольника ABC с прямым углом C и катетами $4\sqrt{2}$ и $3\sqrt{5}$ лежит точка P. Учитывая, что длина перпендикуляра PA до плоскости ABC равна 2, найдите длины отрезков PB и PC.

По условию задачи, имеется прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Длины его катетов, $AC$ и $BC$, равны $4\sqrt{2}$ и $3\sqrt{5}$. Вне плоскости треугольника лежит точка $P$, такая, что отрезок $PA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина $PA = 2$.

Поскольку $PA$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то $PA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Следовательно, $PA \perp AC$ и $PA \perp AB$. Это означает, что треугольники $\triangle PAC$ и $\triangle PAB$ являются прямоугольными, с прямым углом в вершине $A$. Для нахождения длин отрезков $PB$ и $PC$ мы воспользуемся теоремой Пифагора.

Найдем длину отрезка PB
Отрезок $PB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle PAB$. По теореме Пифагора, $PB^2 = PA^2 + AB^2$.
$PA = 2$ по условию. Отрезок $AB$ является гипотенузой в исходном треугольнике $\triangle ABC$. Найдем квадрат ее длины по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Сумма квадратов катетов не зависит от того, какой катет имеет какую длину: $AB^2 = (4\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{5})^2 = (16 \cdot 2) + (9 \cdot 5) = 32 + 45 = 77$.
Теперь вычислим длину $PB$: $PB^2 = 2^2 + 77 = 4 + 77 = 81$.
$PB = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: $PB = 9$.

Найдем длину отрезка PC
Отрезок $PC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle PAC$. По теореме Пифагора, $PC^2 = PA^2 + AC^2$.
В данном случае результат зависит от длины катета $AC$. Поскольку в условии не указано, какому из катетов, $AC$ или $BC$, соответствуют данные длины, мы должны рассмотреть два возможных варианта для длины $AC$.
Случай 1: Если $AC = 4\sqrt{2}$.
$PC^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 32 = 36$.
$PC = \sqrt{36} = 6$.
Случай 2: Если $AC = 3\sqrt{5}$.
$PC^2 = 2^2 + (3\sqrt{5})^2 = 4 + 45 = 49$.
$PC = \sqrt{49} = 7$.
Следовательно, длина отрезка $PC$ может принимать два значения.
Ответ: $PC = 6$ или $PC = 7$.