Номер 148, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

148. В пирамиде $ABCD$ ребра $AB$, $BC$ и $CD$ равны соответственно 7, 8 и 4. Найдите ребро $AD$, учитывая, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть вершины пирамиды (тетраэдра) $A, B, C, D$ заданы радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ соответственно.

Тогда векторы, соответствующие ребрам и диагоналям пирамиды, выражаются через радиус-векторы вершин:

• $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
• $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$
• $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
• $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
• $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$
• $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$

Из условия задачи нам известны длины ребер $AB, BC, CD$:

• $AB = |\vec{AB}| = 7$
• $BC = |\vec{BC}| = 8$
• $CD = |\vec{CD}| = 4$

Также по условию прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. В векторной алгебре это означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Подставим выражения для векторов через радиус-векторы вершин:

$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки в этом выражении:

$\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Перегруппировав слагаемые, получим ключевое соотношение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ (1)

Теперь рассмотрим суммы квадратов длин противолежащих ребер. В тетраэдре $ABCD$ пары противолежащих (скрещивающихся) ребер это $(AB, CD)$, $(BC, AD)$ и $(AC, BD)$.

Выразим сумму квадратов длин ребер $AB$ и $CD$:

$AB^2 + CD^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 + |\vec{d} - \vec{c}|^2$

$= (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{c})$

$= (|\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2) + (|\vec{d}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} + |\vec{c}|^2)$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d})$

Аналогично выразим сумму квадратов длин ребер $BC$ и $AD$:

$BC^2 + AD^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 + |\vec{d} - \vec{a}|^2$

$= (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{a})$

$= (|\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{d}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{d} + |\vec{a}|^2)$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c})$

Сравнивая полученные выражения для $AB^2 + CD^2$ и $BC^2 + AD^2$, мы видим, что они равны тогда и только тогда, когда равны выражения в скобках: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Как мы показали в равенстве (1), это условие выполняется, поскольку прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Таким образом, для данного тетраэдра справедливо равенство:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$

Это известная теорема: в тетраэдре суммы квадратов длин противолежащих ребер равны тогда и только тогда, когда две другие пары противолежащих ребер перпендикулярны. В нашем случае, перпендикулярность $AC$ и $BD$ влечет равенство сумм квадратов для двух других пар.

Теперь подставим в доказанное равенство известные из условия значения длин ребер:

$AB = 7$, $BC = 8$, $CD = 4$.

$7^2 + 4^2 = 8^2 + AD^2$

$49 + 16 = 64 + AD^2$

$65 = 64 + AD^2$

Отсюда находим $AD^2$:

$AD^2 = 65 - 64 = 1$

Так как длина ребра является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$AD = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1.