Номер 143, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

143. Из точки $A$ восстановлен перпендикуляр $AK$ к плоскости прямоугольника $ABCD$ (рис. 61). Найдите отрезок $AK$, учитывая, что расстояния от точки $K$ до остальных вершин прямоугольника равны $9$ см, $13$ см и $15$ см.

Рис. 61

Согласно условию задачи, $ABCD$ является прямоугольником, а отрезок $AK$ восстановлен перпендикулярно к его плоскости. Это означает, что $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $A$. В частности, $AK \perp AB$ и $AK \perp AD$.

Из перпендикулярности $AK$ к сторонам прямоугольника следует, что треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle KAD$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:
$KB^2 = AK^2 + AB^2$ (1)
$KD^2 = AK^2 + AD^2$ (2)

Рассмотрим также диагональ прямоугольника $AC$. Поскольку $AK$ перпендикулярен всей плоскости $ABCD$, он перпендикулярен и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\triangle KAC$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для $\triangle KAC$:
$KC^2 = AK^2 + AC^2$ (3)

В прямоугольнике $ABCD$ квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Так как $BC = AD$ (противоположные стороны прямоугольника), то $AC^2 = AB^2 + AD^2$.

Подставим это выражение для $AC^2$ в уравнение (3):
$KC^2 = AK^2 + (AB^2 + AD^2)$

Теперь выразим $AB^2$ и $AD^2$ из уравнений (1) и (2):
$AB^2 = KB^2 - AK^2$
$AD^2 = KD^2 - AK^2$

Подставим эти выражения в полученную формулу для $KC^2$:
$KC^2 = AK^2 + (KB^2 - AK^2) + (KD^2 - AK^2)$
$KC^2 = KB^2 + KD^2 - AK^2$

Из этого соотношения выразим искомую длину $AK$:
$AK^2 = KB^2 + KD^2 - KC^2$

В условии даны расстояния от точки $K$ до остальных вершин прямоугольника: 9 см, 13 см и 15 см. Это длины отрезков $KB, KC, KD$. В прямоугольных треугольниках $\triangle KAB, \triangle KAD, \triangle KAC$ с общим катетом $AK$, большим гипотенузам соответствуют большие вторые катеты ($AB, AD, AC$). Так как диагональ прямоугольника $AC$ длиннее его сторон $AB$ и $AD$, то и наклонная $KC$ будет самой длинной из трёх ($KB, KD, KC$).

Следовательно, $KC = 15$ см. Остальные значения, $KB = 9$ см и $KD = 13$ см, соответствуют рисунку (их порядок в формуле не имеет значения).

Подставляем числовые значения в выведенную формулу:
$AK^2 = 9^2 + 13^2 - 15^2$
$AK^2 = 81 + 169 - 225$
$AK^2 = 250 - 225$
$AK^2 = 25$

Тогда длина отрезка $AK$ равна:
$AK = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.