Номер 140, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

140. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$, $AB = AC$. Вне плоскости треугольника $ABC$ взята точка $N$, равноудаленная от точек $B$ и $C$ (рис. 60). Докажите, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $MAN$.

Рис. 60

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = AC$, следовательно, он является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$ — середина $BC$, значит, отрезок $AM$ — это медиана, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $AM$ перпендикулярна $BC$ ($AM \perp BC$).

Теперь рассмотрим треугольник $NBC$. По условию, точка $N$ равноудалена от точек $B$ и $C$, то есть $NB = NC$. Это означает, что треугольник $NBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, отрезок $NM$ является медианой, проведенной к основанию в этом треугольнике. Аналогично предыдущему случаю, медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является и высотой, поэтому $NM$ перпендикулярна $BC$ ($NM \perp BC$).

Таким образом, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум прямым — $AM$ и $NM$. Обе эти прямые, $AM$ и $NM$, лежат в плоскости $MAN$ (так как проходят через точки $A$, $M$ и $N$, $M$, соответственно) и пересекаются в точке $M$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Применяя этот признак, мы заключаем, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $MAN$.

Ответ: Что и требовалось доказать.