Номер 133, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

133. Верно ли, что если две прямые перпендикулярны третьей, то они:

а) параллельны;

б) параллельны одной плоскости?

а) параллельны;

В общем случае (в трёхмерном пространстве) это утверждение неверно. Если две прямые перпендикулярны третьей, они могут быть как параллельными, так и пересекающимися, или скрещивающимися.

Рассмотрим контрпример. Пусть в прямоугольной системе координат прямая $c$ совпадает с осью $Oz$. Прямая $a$, совпадающая с осью $Ox$, перпендикулярна прямой $c$. Прямая $b$, совпадающая с осью $Oy$, также перпендикулярна прямой $c$. Однако прямые $a$ и $b$ (оси $Ox$ и $Oy$) не параллельны друг другу, а пересекаются под прямым углом в начале координат.

Другой пример — скрещивающиеся прямые. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$. Ребро $A_1D_1$ также перпендикулярно ребру $AA_1$ (поскольку $A_1D_1 \parallel AD$ и $AD \perp AA_1$). Таким образом, прямые $AB$ и $A_1D_1$ перпендикулярны одной и той же прямой $AA_1$, но при этом они являются скрещивающимися.

Утверждение было бы верным, если бы все три прямые лежали в одной плоскости (это одна из теорем планиметрии).

Ответ: нет, неверно.

б) параллельны одной плоскости?

Да, это утверждение верно.

Доказательство: Пусть даны прямые $a$ и $b$, и обе перпендикулярны прямой $c$. То есть $a \perp c$ и $b \perp c$.

Согласно теореме стереометрии, через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Проведём плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $c$.

Рассмотрим отношение прямых $a$ и $b$ к этой плоскости $\alpha$. Существует свойство: если некоторая прямая ($a$ или $b$) перпендикулярна прямой $c$, которая в свою очередь перпендикулярна плоскости $\alpha$, то эта прямая либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. В обоих случаях (и когда прямая параллельна плоскости, и когда она лежит в ней) выполняется условие параллельности прямой и плоскости.

Таким образом, поскольку $a \perp c$ и $\alpha \perp c$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Аналогично, поскольку $b \perp c$ и $\alpha \perp c$, то прямая $b$ также параллельна плоскости $\alpha$.

Следовательно, обе прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же плоскости $\alpha$.

Ответ: да, верно.