Номер 132, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

132. Точки $P$, $Q$ и $R$ выбраны соответственно на ребрах $SA$, $AB$ и в грани $SCD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 58). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте след плоскости $SBC$ на плоскости:

а) $SPQ$;

б) $PQR$;

в) $CPR$.

Рис. 58

Для построения следа (линии пересечения) одной плоскости на другой необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомым следом.

а) SPQ;

Требуется построить линию пересечения плоскостей $(SPQ)$ и $(SBC)$.

1. Точка $S$ является вершиной пирамиды и принадлежит обеим плоскостям: $S \in (SPQ)$ по определению и $S \in (SBC)$ как вершина грани $SBC$. Следовательно, точка $S$ является одной из точек искомой линии пересечения.

2. Точка $P$ лежит на ребре $SA$, а точка $Q$ — на ребре $AB$. Это означает, что точки $S, P, Q$ лежат в плоскости грани $(SAB)$. Следовательно, плоскость $(SPQ)$ совпадает с плоскостью $(SAB)$.

3. Задача сводится к нахождению линии пересечения двух плоскостей граней: $(SAB)$ и $(SBC)$. Эти плоскости пересекаются по общему ребру $SB$.

Таким образом, след плоскости $(SPQ)$ на плоскости $(SBC)$ — это прямая $SB$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(SPQ)$ и $(SBC)$ — это прямая $SB$.

б) PQR;

Требуется построить линию пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SBC)$. Для этого найдем две общие точки этих плоскостей.

Первая точка пересечения:

1. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(PQR)$. Также, поскольку $P \in SA$ и $Q \in AB$, прямая $PQ$ лежит в плоскости грани $(SAB)$.

2. Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ пересекаются по прямой $SB$.

3. Точка пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(SBC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(SBC)$, то есть на прямой $SB$.

4. Построим точку $K_1 = PQ \cap SB$. Для этого продлим отрезки $PQ$ и $SB$ до их пересечения. Так как $K_1 \in PQ$, то $K_1 \in (PQR)$. Так как $K_1 \in SB$, то $K_1 \in (SBC)$. Следовательно, $K_1$ — первая точка искомой линии пересечения.

Вторая точка пересечения:

1. Найдем след плоскости $(PQR)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Для этого нам нужны две точки. Одна точка уже есть — это точка $Q$, так как $Q \in AB$, а значит $Q \in (ABCD)$.

2. Найдем вторую точку — точку пересечения прямой $PR$ с плоскостью $(ABCD)$. Для этого воспользуемся вспомогательной плоскостью $(SAR)$. Прямая $PR$ лежит в этой плоскости.

3. Найдем линию пересечения плоскости $(SAR)$ с плоскостью $(ABCD)$. Точка $A$ — общая. Найдем еще одну общую точку. Прямая $SR$ лежит в плоскости $(SCD)$. Продлим $SR$ до пересечения с прямой $CD$ (линией пересечения плоскостей $(SCD)$ и $(ABCD)$). Обозначим точку их пересечения $M = SR \cap CD$. Точка $M$ принадлежит и плоскости $(SAR)$, и плоскости $(ABCD)$.

4. Таким образом, плоскость $(SAR)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $AM$.

5. Точка пересечения прямой $PR$ с плоскостью $(ABCD)$ лежит на прямой $AM$. Найдем эту точку: $K_2 = PR \cap AM$.

6. Теперь у нас есть две точки следа плоскости $(PQR)$ на плоскости $(ABCD)$: $Q$ и $K_2$. Значит, след — это прямая $QK_2$.

7. Искомая вторая точка пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SBC)$ лежит на прямой $BC$ (так как $BC \in (SBC)$) и на следе $QK_2$. Найдем точку пересечения этих прямых: $K_3 = QK_2 \cap BC$.

8. Точка $K_3 \in BC$, значит $K_3 \in (SBC)$. Точка $K_3 \in QK_2$, значит $K_3 \in (PQR)$. Следовательно, $K_3$ — вторая точка искомой линии пересечения.

Построение следа:

Искомый след плоскости $(PQR)$ на плоскости $(SBC)$ — это прямая, проходящая через точки $K_1$ и $K_3$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SBC)$ — это прямая $K_1K_3$, где $K_1 = PQ \cap SB$, а $K_3 = (Q (PR \cap (SR \cap CD))) \cap BC$.

в) CPR;

Требуется построить линию пересечения плоскостей $(CPR)$ и $(SBC)$.

Первая точка пересечения:

1. Точка $C$ принадлежит плоскости $(SBC)$ как вершина грани.

2. Точка $C$ принадлежит плоскости $(CPR)$ по определению.

3. Следовательно, $C$ — первая точка искомой линии пересечения.

Вторая точка пересечения:

1. Найдем точку пересечения прямой $PR$ (лежащей в плоскости $(CPR)$) с плоскостью $(SBC)$.

2. Для этого используем вспомогательную плоскость, содержащую прямую $PR$. Как и в пункте б), выберем плоскость $(SAR)$.

3. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(SAR)$ с плоскостью $(SBC)$. Точка $S$ является общей.

4. Для нахождения второй общей точки найдем пересечение следов этих плоскостей на плоскости основания $(ABCD)$.

5. След плоскости $(SAR)$ на плоскости $(ABCD)$ — это прямая $AM$, где $M = SR \cap CD$ (построение аналогично пункту б)).

6. След плоскости $(SBC)$ на плоскости $(ABCD)$ — это прямая $BC$.

7. Найдем точку пересечения этих следов: $K_4 = AM \cap BC$. Точка $K_4$ принадлежит обеим плоскостям, $(SAR)$ и $(SBC)$.

8. Линия пересечения плоскостей $(SAR)$ и $(SBC)$ — это прямая $SK_4$.

9. Точка пересечения прямой $PR$ с плоскостью $(SBC)$ должна лежать на этой прямой $SK_4$. Так как $PR$ и $SK_4$ лежат в одной плоскости $(SAR)$, найдем их точку пересечения: $K_5 = PR \cap SK_4$.

10. Точка $K_5 \in PR$, значит $K_5 \in (CPR)$. Точка $K_5 \in SK_4$, значит $K_5 \in (SBC)$. Следовательно, $K_5$ — вторая точка искомой линии пересечения.

Построение следа:

Искомый след плоскости $(CPR)$ на плоскости $(SBC)$ — это прямая, проходящая через точки $C$ и $K_5$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(CPR)$ и $(SBC)$ — это прямая $CK_5$, где $K_5 = PR \cap SK_4$, а $K_4 = ( (SR \cap CD) A ) \cap BC$.