Номер 130, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

130. Точки $D, E, F, G$ выбраны на ребрах $AB, SC, AC$ и $SB$ пирамиды $SABC$, а точки $P, Q$ и $R$ — на отрезках $DG, EG$ и $FG$ соответственно. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскости $PQR$ с плоскостью:

а) $EFG$;

б) $ABC$;

в) $ASB$.

Для решения задачи сначала сделаем рисунок, на котором изобразим пирамиду $SABC$ и все указанные точки. Затем для каждого пункта построим искомую линию пересечения.

На рисунке показана пирамида $SABC$. Точки $D, E, F, G$ выбраны на ребрах $AB, SC, AC, SB$ соответственно. Точки $P, Q, R$ выбраны на отрезках $DG, EG, FG$ соответственно.

Чтобы найти линию пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью $(EFG)$, необходимо найти две их общие точки.

По условию, точка $Q$ принадлежит отрезку $EG$. Так как отрезок $EG$ целиком лежит в плоскости $(EFG)$, то и точка $Q$ принадлежит плоскости $(EFG)$.

Аналогично, по условию, точка $R$ принадлежит отрезку $FG$. Так как отрезок $FG$ целиком лежит в плоскости $(EFG)$, то и точка $R$ принадлежит плоскости $(EFG)$.

По определению плоскости $(PQR)$, точки $Q$ и $R$ принадлежат и этой плоскости. Таким образом, точки $Q$ и $R$ являются общими для обеих плоскостей.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, искомая линия пересечения — это прямая $QR$.

Ответ: Прямая $QR$.

Для нахождения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью основания $(ABC)$ построим две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Будем использовать метод следов.

1. Построение первой общей точки $X$.

Найдем точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(ABC)$.

1. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(DEG)$, так как точки $P$ и $Q$ лежат на прямых $DG$ и $EG$ этой плоскости ($P \in DG$, $Q \in EG$).
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(DEG)$ с плоскостью $(ABC)$.
3. Точка $D$ лежит на ребре $AB$, которое принадлежит плоскости $(ABC)$, следовательно, $D$ — общая точка этих плоскостей.
4. Для нахождения второй общей точки найдем точку пересечения прямой $EG$ с плоскостью $(ABC)$. Прямые $EG$ и $BC$ лежат в одной плоскости $(SBC)$. Продлим их до пересечения в точке $K_1 = EG \cap BC$. Точка $K_1$ лежит на прямой $BC$, значит, $K_1 \in (ABC)$. Точка $K_1$ лежит на прямой $EG$, значит, $K_1 \in (DEG)$.
5. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(DEG)$ и $(ABC)$ — это прямая $DK_1$.
6. Прямая $PQ$ и прямая $DK_1$ лежат в одной плоскости $(DEG)$, поэтому они пересекаются. Обозначим их точку пересечения $X = PQ \cap DK_1$.
7. Точка $X$ принадлежит прямой $PQ$, значит, $X \in (PQR)$. Точка $X$ принадлежит прямой $DK_1$, значит, $X \in (ABC)$. Таким образом, $X$ — первая искомая точка.

2. Построение второй общей точки $Y$.

Найдем точку пересечения прямой $PR$ с плоскостью $(ABC)$.

1. Прямая $PR$ лежит в плоскости $(DFG)$, так как $P \in DG$ и $R \in FG$.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(DFG)$ с плоскостью $(ABC)$.
3. Точки $D$ и $F$ по условию лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно. Оба ребра принадлежат плоскости $(ABC)$, поэтому прямая $DF$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.
4. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(DFG)$ и $(ABC)$ — это прямая $DF$.
5. Прямые $PR$ и $DF$ лежат в одной плоскости $(DFG)$, поэтому они пересекаются. Обозначим их точку пересечения $Y = PR \cap DF$.
6. Точка $Y$ принадлежит прямой $PR$, значит, $Y \in (PQR)$. Точка $Y$ принадлежит прямой $DF$, значит, $Y \in (ABC)$. Таким образом, $Y$ — вторая искомая точка.

Линия пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(ABC)$ проходит через найденные точки $X$ и $Y$. Искомая линия — прямая $XY$.

Ответ: Прямая $XY$, где $X = PQ \cap DK_1$ (причем $K_1 = EG \cap BC$), а $Y = PR \cap DF$.

Для нахождения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью боковой грани $(ASB)$ построим две их общие точки.

1. Построение первой общей точки.

Рассмотрим положение точки $P$. По условию $P \in DG$. Точка $D$ лежит на ребре $AB$ грани $(ASB)$, а точка $G$ лежит на ребре $SB$ той же грани. Следовательно, вся прямая $DG$ принадлежит плоскости $(ASB)$. Так как точка $P$ лежит на прямой $DG$, то $P \in (ASB)$. По определению плоскости $(PQR)$, точка $P$ также принадлежит ей. Значит, $P$ — первая общая точка плоскостей $(PQR)$ и $(ASB)$.

2. Построение второй общей точки $Z$.

Найдем точку пересечения прямой $QR$ с плоскостью $(ASB)$.

1. Прямая $QR$ лежит в плоскости $(EFG)$, так как $Q \in EG$ и $R \in FG$.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(EFG)$ с плоскостью $(ASB)$.
3. Точка $G$ лежит на ребре $SB$, которое принадлежит плоскости $(ASB)$, следовательно, $G$ — общая точка этих плоскостей.
4. Для нахождения второй общей точки найдем точку пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(ASB)$. Прямые $EF$ и $SA$ лежат в одной плоскости $(SAC)$. Продлим их до пересечения в точке $K_2 = EF \cap SA$. Точка $K_2$ лежит на прямой $SA$, значит, $K_2 \in (ASB)$. Точка $K_2$ лежит на прямой $EF$, значит, $K_2 \in (EFG)$.
5. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(EFG)$ и $(ASB)$ — это прямая $GK_2$.
6. Прямая $QR$ и прямая $GK_2$ лежат в одной плоскости $(EFG)$, поэтому они пересекаются. Обозначим их точку пересечения $Z = QR \cap GK_2$.
7. Точка $Z$ принадлежит прямой $QR$, значит, $Z \in (PQR)$. Точка $Z$ принадлежит прямой $GK_2$, значит, $Z \in (ASB)$. Таким образом, $Z$ — вторая искомая точка.

Линия пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(ASB)$ проходит через найденные точки $P$ и $Z$. Искомая линия — прямая $PZ$.

Ответ: Прямая $PZ$, где $Z = QR \cap GK_2$ (причем $K_2 = EF \cap SA$).