Номер 124, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

124. Точки $P$ и $Q$ отмечены в основании $ABCD$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точки $M$ и $N$ — на ребрах $AA_1$ и $B_1C_1$ соответственно (рис. 55). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M, N$ и параллельной прямой $PQ$.

Рис. 55

Для построения сечения призмы $ABCDA₁B₁C₁D₁$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $M$ и $N$ и параллельной прямой $PQ$, выполним следующие шаги. Плоскость $\alpha$ определена двумя точками $M$ и $N$ и направлением, заданным прямой $PQ$.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

Следом плоскости $\alpha$ на плоскости основания $(ABCD)$ называется прямая, по которой эти две плоскости пересекаются. Обозначим эту прямую как $t$.

Поскольку по условию секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $PQ$, а прямая $PQ$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$, то линия их пересечения $t$ должна быть параллельна прямой $PQ$. То есть, $t \parallel PQ$.

Чтобы построить прямую $t$, нам нужна хотя бы одна точка, принадлежащая ей. Найдем такую точку, пересекая прямую $MN$ (которая лежит в секущей плоскости $\alpha$) с плоскостью основания $(ABCD)$. Обозначим точку их пересечения $X$.

Для нахождения точки $X = MN \cap (ABCD)$, выполним следующие построения:

1. Построим проекцию точки $N$ на плоскость основания $(ABCD)$. Так как $N \in B₁C₁$, а призма прямая или наклонная (в общем случае $BB₁ \parallel AA₁$), то проекция ребра $B₁C₁$ на плоскость $(ABCD)$ — это прямая $BC$. Построим точку $N' \in BC$ так, чтобы $NN' \parallel B₁B$.
2. Точки $M$ и $A$ лежат в плоскости боковой грани $(AA₁B₁B)$, а точки $N$ и $N'$ — в плоскости $(BB₁C₁C)$. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через точки $M$, $A$ и $N'$. Прямая $MN$ и прямая $AN'$ лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через параллельные прямые $AA_1$ и $NN'$ и точки $M$ и $N$ на них). Следовательно, они пересекаются.
3. Продолжим отрезки $MN$ и $AN'$ до их пересечения. Точка их пересечения $X = MN \cap AN'$ и будет искомой точкой. Так как $X \in AN'$ и $AN' \subset (ABCD)$, то $X \in (ABCD)$. Так как $X \in MN$ и $MN \subset \alpha$, то $X \in \alpha$. Значит, $X$ — точка на следе $t$.
4. Теперь мы можем построить след $t$: проводим в плоскости основания $(ABCD)$ прямую через точку $X$ параллельно прямой $PQ$.

2. Построение многоугольника сечения.

Теперь, имея след $t$, последовательно строим стороны многоугольника, являющегося сечением.

1. Находим точки пересечения следа $t$ с ребрами основания призмы. Пусть прямая $t$ пересекает ребро $AD$ в точке $K₁$ и ребро $CD$ в точке $K₂$. Тогда отрезок $K₁K₂$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Точка $K₁$ лежит на ребре $AD$, а точка $M$ — на ребре $AA₁$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(AA₁D₁D)$. Соединяем их отрезком $K₁M$. Это следующая сторона сечения.
3. Точки $M$ и $N$ даны по условию. Соединяем их отрезком $MN$. Это еще одна сторона сечения.
4. Точка $N$ лежит на ребре $B₁C₁$, то есть в плоскости верхнего основания $(A₁B₁C₁D₁)$. Плоскости оснований $(ABCD)$ и $(A₁B₁C₁D₁)$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это $K₁K₂$. Значит, линия пересечения с верхним основанием должна быть ей параллельна. Проводим через точку $N$ в плоскости $(A₁B₁C₁D₁)$ прямую, параллельную $K₁K₂$ (а значит, и $PQ$). Пусть эта прямая пересекает ребро $C₁D₁$ в точке $S$. Отрезок $NS$ — следующая сторона сечения.
5. Точка $S$ лежит на ребре $C₁D₁$, а точка $K₂$ — на ребре $CD$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(CC₁D₁D)$. Соединяем их отрезком $SK₂$. Это последняя сторона сечения.
6. В результате получаем замкнутый многоугольник $K₁MNSK₂$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $K₁MNSK₂$, построенный согласно описанным выше шагам.