Номер 117, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

117. Концы отрезка $PQ$ лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$, а точки $A$ и $B$ — в плоскости $\alpha$ (рис. 50). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линии пересечения с плоскостью $\beta$ плоскостей $ABP$, $APQ$ и $PQB$.

Рис. 50

По условию задачи даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$). Точки $A$, $B$ и $Q$ лежат в плоскости $α$, а точка $P$ лежит в плоскости $β$.
Для построения искомых линий пересечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

Рисунок 1. Построение линий пересечения $p_1, p_2, p_3$

Плоскость $ABP$ пересекает плоскость $α$ по прямой $AB$, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $α$.
Поскольку плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$), то плоскость $ABP$ пересекает плоскость $β$ по прямой, параллельной прямой $AB$.
Точка $P$ принадлежит и плоскости $ABP$, и плоскости $β$, следовательно, она лежит на линии их пересечения.
Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $p_1$, проходящая через точку $P$ в плоскости $β$ параллельно прямой $AB$ ($p_1 \parallel AB$).
Ответ: Линия пересечения плоскости $ABP$ с плоскостью $β$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AB$.

Плоскость $APQ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $AQ$, так как точки $A$ и $Q$ лежат в плоскости $α$.
Так как $α \parallel β$, то плоскость $APQ$ пересекает плоскость $β$ по прямой, параллельной прямой $AQ$.
Точка $P$ принадлежит и плоскости $APQ$, и плоскости $β$, значит, она лежит на линии их пересечения.
Следовательно, искомая линия пересечения — это прямая $p_2$, проходящая через точку $P$ в плоскости $β$ параллельно прямой $AQ$ ($p_2 \parallel AQ$).
Ответ: Линия пересечения плоскости $APQ$ с плоскостью $β$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AQ$.

Плоскость $PQB$ пересекает плоскость $α$ по прямой $QB$, так как точки $Q$ и $B$ лежат в плоскости $α$.
Так как $α \parallel β$, то плоскость $PQB$ пересекает плоскость $β$ по прямой, параллельной прямой $QB$.
Точка $P$ принадлежит и плоскости $PQB$, и плоскости $β$, поэтому она лежит на линии их пересечения.
Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $p_3$, проходящая через точку $P$ в плоскости $β$ параллельно прямой $QB$ ($p_3 \parallel QB$).
Ответ: Линия пересечения плоскости $PQB$ с плоскостью $β$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $QB$.