Номер 116, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

116. Пересекающиеся прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$. Точки $M$ и $N$ плоскости $\beta$ и точка $P$, не принадлежащая плоскости $\alpha$, отмечены так, что $MN \parallel a$, $MP \parallel b$. Что можно утверждать о взаимном расположении плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

По условию задачи, в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. В плоскости $\beta$ лежат точки $M$ и $N$. Также дана точка $P$, не принадлежащая плоскости $\alpha$. Известно, что прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, параллельна прямой $a$ ($MN \parallel a$), а прямая, проходящая через точки $M$ и $P$, параллельна прямой $b$ ($MP \parallel b$).

Поскольку прямые $a$ и $b$ пересекаются, то и параллельные им прямые $MN$ и $MP$ также должны пересекаться. Они имеют общую точку $M$, следовательно, они пересекаются в этой точке.

Две пересекающиеся прямые $MN$ и $MP$ определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $(MNP)$.

Далее воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей, который гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В данной задаче мы имеем:

1. Пересекающиеся прямые $MN$ и $MP$ в плоскости $(MNP)$.
2. Пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в плоскости $\alpha$.
3. Выполняется условие их взаимной параллельности: $MN \parallel a$ и $MP \parallel b$.

Из этого следует, что плоскость $(MNP)$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $(MNP) \parallel \alpha$.

Теперь установим связь между плоскостью $\beta$ и плоскостью $(MNP)$. По условию, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\beta$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $MN$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($MN \subset \beta$).

Прямая $MP$ проходит через точку $M$, которая также принадлежит плоскости $\beta$. В условии задачи точки $M$ и $N$ используются для задания плоскости $\beta$, а точка $P$ используется для построения второй прямой $MP$. В контексте стандартных школьных задач предполагается, что вся рассматриваемая конструкция, определяющая плоскость, относится к плоскости $\beta$. Это означает, что точка $P$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Если $P \in \beta$, то, поскольку $M \in \beta$, вся прямая $MP$ также лежит в плоскости $\beta$ ($MP \subset \beta$).

Таким образом, мы получаем, что плоскость $\beta$ содержит две пересекающиеся в точке $M$ прямые $MN$ и $MP$. Это означает, что плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $(MNP)$, которую однозначно определяют эти две прямые.

Итак, мы доказали, что $(MNP) \parallel \alpha$, и пришли к выводу, что $\beta$ есть та же самая плоскость, что и $(MNP)$. Следовательно, можно утверждать, что плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).