Номер 110, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

110. Точки $A, B, C$ и $A_1, B_1, C_1$ расположены в пространстве так, что четырехугольники $CC_1B_1B$ и $AA_1C_1B$ являются параллелограммами (рис. 47). Можно ли утверждать, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны?

Рис. 47

Для того чтобы определить, параллельны ли плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Признак гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим четырехугольник $CC_1B_1B$. По условию задачи, это параллелограмм. Одно из основных свойств параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, сторона $CB$ параллельна стороне $C_1B_1$. Это можно записать как $CB \parallel C_1B_1$. В векторной форме это означает, что $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$.

2. Теперь рассмотрим четырехугольник $AA_1C_1B$. По условию, это также параллелограмм. Применяя то же свойство, получаем, что его противоположные стороны $AB$ и $A_1C_1$ параллельны. Это можно записать как $AB \parallel A_1C_1$. В векторной форме это означает, что $\vec{AB} = \vec{A_1C_1}$.

3. Теперь сопоставим полученные данные с признаком параллельности плоскостей:

• В плоскости $ABC$ есть две прямые: $AB$ и $CB$. Эти прямые пересекаются в точке $B$ (так как точки $A, B, C$ образуют плоскость, они не лежат на одной прямой).
• В плоскости $A_1B_1C_1$ есть две прямые: $A_1C_1$ и $C_1B_1$. Эти прямые пересекаются в точке $C_1$.
• Мы показали, что прямая $AB$ из первой плоскости параллельна прямой $A_1C_1$ из второй плоскости.
• Мы также показали, что прямая $CB$ из первой плоскости параллельна прямой $C_1B_1$ из второй плоскости.

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AB$ и $CB$) плоскости $ABC$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $C_1B_1$) плоскости $A_1B_1C_1$. Согласно признаку параллельности плоскостей, из этого следует, что плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$.

Ответ: Да, можно утверждать, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны.