Номер 108, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

108. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые две из трех прямых, проходящих через середины отрезков $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Пусть даны четыре точки $A, B, C, D$, не лежащие в одной плоскости. Выберем произвольную точку $O$ в пространстве в качестве начала координат. Тогда положение точек $A, B, C, D$ можно задать радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ соответственно.

В задаче рассматриваются три прямые, проходящие через середины следующих пар отрезков:

1. Отрезки $AB$ и $CD$.

2. Отрезки $AC$ и $BD$.

3. Отрезки $AD$ и $BC$.

Обозначим середины этих отрезков:

$K$ — середина $AB$. Ее радиус-вектор $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

$L$ — середина $CD$. Ее радиус-вектор $\vec{l} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.

$M$ — середина $AC$. Ее радиус-вектор $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$.

$N$ — середина $BD$. Ее радиус-вектор $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

$P$ — середина $AD$. Ее радиус-вектор $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$.

$Q$ — середина $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.

Таким образом, нам нужно доказать, что любые две из трех прямых $KL$, $MN$ и $PQ$ лежат в одной плоскости.

Две прямые лежат в одной плоскости, если они пересекаются или параллельны. Докажем, что все три указанные прямые пересекаются в одной точке. Эта точка является центром масс (или барицентром) тетраэдра $ABCD$.

Рассмотрим точку $G$ с радиус-вектором $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.

Найдем радиус-вектор середины отрезка $KL$: $ \frac{\vec{k} + \vec{l}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \vec{g} $

Это означает, что точка $G$ является серединой отрезка $KL$, и, следовательно, точка $G$ лежит на прямой $KL$.

Теперь найдем радиус-вектор середины отрезка $MN$: $ \frac{\vec{m} + \vec{n}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{d}}{4} = \vec{g} $

Это означает, что точка $G$ также является серединой отрезка $MN$, и, следовательно, точка $G$ лежит на прямой $MN$.

Наконец, найдем радиус-вектор середины отрезка $PQ$: $ \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d} + \vec{b} + \vec{c}}{4} = \vec{g} $

Это означает, что точка $G$ является серединой отрезка $PQ$, и, следовательно, точка $G$ лежит на прямой $PQ$.

Таким образом, все три прямые ($KL$, $MN$ и $PQ$) проходят через одну и ту же точку $G$.

Поскольку любые две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, в которой они обе лежат, то любые две из трех прямых $KL$, $MN$ и $PQ$ лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.