Номер 103, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

103. В основании пирамиды $QABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Точки $M, N, K, L$ — середины ребер $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскостей $MQN$ и $KQL$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения.

Шаг 1: Нахождение общей точки.

Рассмотрим плоскости $(MQN)$ и $(KQL)$. По определению, вершина пирамиды $Q$ принадлежит каждой из этих плоскостей. Следовательно, точка $Q$ является общей точкой для плоскостей $(MQN)$ и $(KQL)$, а значит, лежит на их линии пересечения.

Шаг 2: Анализ прямых в плоскости основания.

Линия пересечения плоскости $(MQN)$ с плоскостью основания $(ABCD)$ — это прямая $MN$. Линия пересечения плоскости $(KQL)$ с плоскостью основания $(ABCD)$ — это прямая $KL$.

Рассмотрим положение этих прямых в основании пирамиды, которое является параллелограммом $ABCD$.

• В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине ($MN \parallel AC$, $MN = \frac{1}{2} AC$).
• Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией, и $KL \parallel AC$, $KL = \frac{1}{2} AC$.

Поскольку прямые $MN$ и $KL$ параллельны одной и той же прямой $AC$, они параллельны между собой: $MN \parallel KL$.

Шаг 3: Определение направления линии пересечения и ее построение.

Мы имеем две пересекающиеся плоскости $(MQN)$ и $(KQL)$, которые содержат две параллельные прямые $MN$ и $KL$ соответственно ($MN \subset (MQN)$, $KL \subset (KQL)$).Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, содержащих параллельные прямые: если две пересекающиеся плоскости проходят через параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым.

Отсюда следует, что линия пересечения плоскостей $(MQN)$ и $(KQL)$ параллельна прямым $MN$ и $KL$, а значит, параллельна и диагонали $AC$.

Мы знаем, что искомая линия проходит через точку $Q$ (Шаг 1) и параллельна прямой $AC$ (Шаг 3). Этих данных достаточно для однозначного построения прямой.

Построение:

1. В плоскости основания $ABCD$ строим диагональ $AC$.
2. Через вершину пирамиды $Q$ проводим прямую, параллельную диагонали $AC$.

Полученная прямая и является искомой линией пересечения плоскостей $(MQN)$ и $(KQL)$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $MQN$ и $KQL$ — это прямая, проходящая через вершину пирамиды $Q$ параллельно диагонали основания $AC$.