Номер 100, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

100. Трапеция $ABCD$ и треугольник $AFD$ лежат в разных плоскостях. Плоскость, проходящая через середину $Q$ отрезка $AF$ и точки $B$ и $C$, пересекает прямую $DF$ в точке $P$ (рис. 43). Найдите $PQ$, учитывая, что $AD = 12$.

Рис. 43

По условию задачи, $ABCD$ — трапеция, следовательно, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.

Рассмотрим плоскость треугольника $(AFD)$ и прямую $BC$. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AFD)$. Поскольку прямая $BC$ не лежит в плоскости $(AFD)$ и параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости $(AFD)$.

Плоскость, проходящая через точки $B, C$ и $Q$, обозначим как $(QBC)$. Эта плоскость проходит через прямую $BC$, которая параллельна плоскости $(AFD)$. По свойству, если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Плоскость $(QBC)$ пересекает плоскость $(AFD)$ по прямой $PQ$. Следовательно, $PQ \parallel BC$.

Таким образом, мы имеем две параллельные прямые: $PQ \parallel BC$. Так как по условию $BC \parallel AD$, то из этого следует, что $PQ \parallel AD$ (по свойству транзитивности параллельных прямых).

Теперь рассмотрим треугольник $AFD$. В этом треугольнике:

1. Точка $Q$ является серединой стороны $AF$ (по условию).
2. Отрезок $PQ$ параллелен стороне $AD$ (как мы доказали выше).

По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то этот отрезок является средней линией. Значит, $PQ$ — средняя линия треугольника $AFD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. В нашем случае:

$PQ = \frac{1}{2} AD$

Подставим известное значение $AD = 12$:

$PQ = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

Ответ: 6.