Номер 107, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

107. На ребрах $SA, SB$ и $SC$ пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $P, Q$ и $R$, что $\angle ACP = \angle CPR, \angle CBR = \angle BRQ$ (рис. 45). Можно ли утверждать, что плоскости $ABC$ и $PQR$ параллельны?

Рис. 45

Для того чтобы определить, параллельны ли плоскости $ABC$ и $PQR$, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Рассмотрим плоскость грани $SAC$. Точки $A, C, P, R$ лежат в этой плоскости (так как $P \in SA$ и $R \in SC$). По условию дано, что $∠ACP = ∠CPR$. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых $AC$ и $PR$ и секущей $CP$. Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности прямых можно сделать вывод, что прямая $AC$ параллельна прямой $PR$: $AC \parallel PR$.

Теперь рассмотрим плоскость грани $SBC$. Точки $B, C, Q, R$ лежат в этой плоскости (так как $Q \in SB$ и $R \in SC$). По условию дано, что $∠CBR = ∠BRQ$. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых $BC$ и $QR$ и секущей $BR$. Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности прямых можно сделать вывод, что прямая $BC$ параллельна прямой $QR$: $BC \parallel QR$.

Итак, мы имеем:
1. Прямые $AC$ и $BC$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $C$.
2. Прямые $PR$ и $QR$ лежат в плоскости $PQR$ и пересекаются в точке $R$.
3. Выполняются условия параллельности: $AC \parallel PR$ и $BC \parallel QR$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AC$ и $BC$) плоскости $ABC$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($PR$ и $QR$) плоскости $PQR$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABC$ параллельна плоскости $PQR$.
Ответ: Да, можно утверждать, что плоскости $ABC$ и $PQR$ параллельны.