Номер 109, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

109. Точки $A$, $B$ и $C$ отмечены на ребрах $SP$, $SQ$ и $SR$ пирамиды $SPQR$ так, что $SP : SA = SQ : SB = SR : SC$ (рис. 46). Можно ли утверждать, что плоскости $ABC$ и $PQR$ параллельны?

Рис. 46

Для ответа на вопрос воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим грань $SPQ$ пирамиды. В этой плоскости лежат треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SPQ$. По условию дано, что $SP : SA = SQ : SB$. Это можно записать в виде пропорции $\frac{SA}{SP} = \frac{SB}{SQ}$. Угол $\angle PSQ$ у этих треугольников общий. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle SAB \sim \triangle SPQ$. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle SAB = \angle SPQ$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $PQ$ и секущей $SP$. Значит, прямая $AB$ параллельна прямой $PQ$ ($AB \parallel PQ$).

2. Теперь рассмотрим грань $SQR$. В этой плоскости лежат треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SQR$. По условию $SQ : SB = SR : SC$, что эквивалентно пропорции $\frac{SB}{SQ} = \frac{SC}{SR}$. Угол $\angle QSR$ у этих треугольников общий. Следовательно, по тому же признаку подобия, $\triangle SBC \sim \triangle SQR$. Из подобия следует, что $\angle SBC = \angle SQR$. Эти углы являются соответственными при прямых $BC$ и $QR$ и секущей $SQ$. Значит, прямая $BC$ параллельна прямой $QR$ ($BC \parallel QR$).

3. Мы установили, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $BC$ (они пересекаются в точке $B$) плоскости $ABC$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $PQ$ и $QR$ (они пересекаются в точке $Q$) плоскости $PQR$.

На основании признака параллельности плоскостей, можно сделать вывод, что плоскость $ABC$ параллельна плоскости $PQR$.

Ответ: Да, можно утверждать, что плоскости $ABC$ и $PQR$ параллельны.