Номер 102, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

102. Точки $A_1$ и $A_2$ выбраны в плоскости $\alpha$, а $B_1$ и $B_2$ — в плоскости $\beta$ так, что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $K$ (рис. 44).

Риc. 44

Учитывая, что $\alpha \parallel \beta$, $KA_1 = 7,2$, $KB_2 = 15$ и $KA_1 : KA_2 = 1 : 3$, найдите $KA_2$ и $KB_1$.

Поскольку прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $K$, они определяют единственную плоскость $\gamma$. Эта плоскость $\gamma$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае, линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $A_1A_2$, а линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\beta$ — это прямая $B_1B_2$. Следовательно, прямая $A_1A_2$ параллельна прямой $B_1B_2$, то есть $A_1A_2 \parallel B_1B_2$.

Рассмотрим треугольники $\Delta KA_1A_2$ и $\Delta KB_1B_2$, образованные пересекающимися прямыми $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и параллельными прямыми $A_1A_2$ и $B_1B_2$.

1. Угол $\angle A_1KA_2$ и угол $\angle B_1KB_2$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle A_1KA_2 = \angle B_1KB_2$.

2. Углы $\angle KA_2A_1$ и $\angle KB_2B_1$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $A_1A_2$ и $B_1B_2$ и секущей $A_2B_2$, следовательно, они равны: $\angle KA_2A_1 = \angle KB_2B_1$.

Таким образом, треугольники $\Delta KA_1A_2$ и $\Delta KB_1B_2$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{KA_1}{KB_1} = \frac{KA_2}{KB_2} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$

Из первого равенства $\frac{KA_1}{KB_1} = \frac{KA_2}{KB_2}$ можно получить соотношение: $\frac{KA_1}{KA_2} = \frac{KB_1}{KB_2}$.

Теперь, используя данные из условия, найдем искомые величины.

KA₂

По условию задачи нам дано, что $KA_1 = 7,2$ и соотношение $KA_1 : KA_2 = 1 : 3$. Запишем это соотношение в виде дроби:

$\frac{KA_1}{KA_2} = \frac{1}{3}$

Подставим известное значение $KA_1$ в это уравнение:

$\frac{7,2}{KA_2} = \frac{1}{3}$

Выразим отсюда $KA_2$:

$KA_2 = 7,2 \cdot 3 = 21,6$

Ответ: $KA_2 = 21,6$.

KB₁

Воспользуемся пропорцией, полученной из подобия треугольников: $\frac{KA_1}{KA_2} = \frac{KB_1}{KB_2}$.

Мы знаем, что $\frac{KA_1}{KA_2} = \frac{1}{3}$ и по условию $KB_2 = 15$. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{1}{3} = \frac{KB_1}{15}$

Выразим отсюда $KB_1$:

$KB_1 = \frac{15 \cdot 1}{3} = 5$

Ответ: $KB_1 = 5$.