Номер 98, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

98. В пирамиде $SABCD$ отмечены точки $K$ и $N$ пересечения медиан треугольников $ABC$ и $ASB$ (рис. 42). Можно ли утверждать, что прямая $KN$ параллельна плоскости $ASC$?

Рис. 42

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медиан треугольника и признаком параллельности прямой и плоскости.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $K$ — точка пересечения его медиан. Проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. По свойству медиан, точка $K$ делит медиану $BM$ в отношении $BK:KM = 2:1$, считая от вершины. Отсюда следует, что $BK = \frac{2}{3}BM$.

2. Рассмотрим треугольник $ASB$. Точка $N$ — точка пересечения его медиан. Проведем медиану $BL$ из вершины $B$ к стороне $AS$. Точка $L$ является серединой отрезка $AS$. По свойству медиан, точка $N$ делит медиану $BL$ в отношении $BN:NL = 2:1$, считая от вершины. Отсюда следует, что $BN = \frac{2}{3}BL$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $MBL$. В этом треугольнике точки $K$ и $N$ лежат на сторонах $BM$ и $BL$ соответственно. Мы установили, что $\frac{BK}{BM} = \frac{2}{3}$ и $\frac{BN}{BL} = \frac{2}{3}$.

Поскольку $\frac{BK}{BM} = \frac{BN}{BL}$, то по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), прямая $KN$ параллельна прямой $ML$, то есть $KN \parallel ML$.

4. Рассмотрим треугольник $ASC$. Точка $M$ — середина стороны $AC$, а точка $L$ — середина стороны $AS$. Следовательно, отрезок $ML$ является средней линией треугольника $ASC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, то есть $ML \parallel SC$.

5. Мы получили, что $KN \parallel ML$ и $ML \parallel SC$. Из этого следует, что $KN \parallel SC$ (по свойству транзитивности параллельных прямых).

6. Прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$ (так как точки $S$ и $C$ принадлежат этой плоскости). По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Таким образом, поскольку $KN \parallel SC$ и $SC \subset (ASC)$, то прямая $KN$ параллельна плоскости $ASC$.

Ответ: Да, можно утверждать, что прямая $KN$ параллельна плоскости $ASC$.