Номер 96, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

96. Точки $A$, $B$ и $C$ отстоят от плоскости $\alpha$ на 2 см, 2 см и 5 см. Верно ли, что одна из прямых $AB$, $BC$, $CA$ параллельна плоскости $\alpha$?

Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо, чтобы все её точки находились на одинаковом расстоянии от этой плоскости. Если две точки, принадлежащие прямой, находятся на разном расстоянии от плоскости, то прямая пересекает эту плоскость и не может быть ей параллельна.

Пусть $d(X, \alpha)$ обозначает расстояние от точки $X$ до плоскости $\alpha$. По условию задачи нам дано: $d(A, \alpha) = 2$ см, $d(B, \alpha) = 2$ см и $d(C, \alpha) = 5$ см.

Рассмотрим последовательно каждую из прямых.

Для прямой BC: так как точки B и C находятся на разных расстояниях от плоскости $\alpha$ ($d(B, \alpha) = 2$ см $\neq$ $d(C, \alpha) = 5$ см), прямая BC пересекает плоскость $\alpha$ и, следовательно, не параллельна ей.

Для прямой CA: аналогично, так как точки C и A находятся на разных расстояниях от плоскости $\alpha$ ($d(C, \alpha) = 5$ см $\neq$ $d(A, \alpha) = 2$ см), прямая CA пересекает плоскость $\alpha$ и не параллельна ей.

Для прямой AB: точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$ ($d(A, \alpha) = d(B, \alpha) = 2$ см). В этом случае возможны два варианта расположения точек A и B относительно плоскости $\alpha$:

1. Если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$, то все точки прямой AB будут находиться на том же расстоянии (2 см) от плоскости. В этом случае прямая AB параллельна плоскости $\alpha$.

2. Если точки A и B расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$, то отрезок AB пересекает плоскость. В этом случае прямая AB не параллельна плоскости $\alpha$.

Вопрос "Верно ли, что..." подразумевает, что утверждение должно выполняться всегда при заданных условиях. Поскольку условие задачи не запрещает точкам A и B находиться по разные стороны от плоскости, существует конфигурация, при которой прямая AB не параллельна плоскости $\alpha$. В такой конфигурации ни одна из трёх прямых (AB, BC, CA) не будет параллельна плоскости $\alpha$.

Следовательно, утверждение, что одна из прямых AB, BC, CA обязательно параллельна плоскости $\alpha$, не является верным.

Ответ: Нет, неверно.