Номер 90, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

90. Точки $M$ и $K$ на сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ выбраны так, что $BM : MA = CK : KD$. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $ABC$ по прямой $MK$. Докажите, что $BC \parallel \alpha$.

Для доказательства того, что прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$, воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость параллелограмма $ABCD$ по прямой $MK$. Это означает, что прямая $MK$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($MK \subset \alpha$). Таким образом, для доказательства $BC \parallel \alpha$ достаточно доказать, что прямая $BC$ параллельна прямой $MK$ ($BC \parallel MK$).

Докажем параллельность прямых $BC$ и $MK$ с помощью векторов.

1. Введем базисные векторы, исходящие из вершины $A$ параллелограмма $ABCD$: $\vec{a} = \vec{AD}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$.

2. По правилу параллелограмма, можем выразить другие векторы через базисные: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$.

3. По условию, точки $M$ и $K$ делят стороны $AB$ и $CD$ в одинаковом отношении: $BM : MA = CK : KD$. Обозначим это отношение как $n:m$.

4. Найдем вектор $\vec{AM}$. Так как точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $BM:MA = n:m$, то $\frac{AM}{AB} = \frac{m}{m+n}$. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ можно выразить как:

$\vec{AM} = \frac{m}{m+n} \vec{AB} = \frac{m}{m+n} \vec{b}$.

5. Аналогично найдем вектор $\vec{DK}$. Так как точка $K$ делит отрезок $CD$ в отношении $CK:KD = n:m$, то $\frac{DK}{DC} = \frac{m}{m+n}$. Следовательно, вектор $\vec{DK}$ можно выразить как:

$\vec{DK} = \frac{m}{m+n} \vec{DC} = \frac{m}{m+n} \vec{b}$.

6. Теперь выразим вектор $\vec{MK}$ через базисные векторы, представив его как сумму векторов по правилу многоугольника: $\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DK}$.

Мы знаем, что $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\frac{m}{m+n} \vec{b}$. Подставим известные векторы в сумму:

$\vec{MK} = \left(-\frac{m}{m+n} \vec{b}\right) + \vec{a} + \left(\frac{m}{m+n} \vec{b}\right)$

$\vec{MK} = \vec{a}$

7. Сравним полученный вектор $\vec{MK}$ с вектором $\vec{BC}$. Мы знаем, что $\vec{BC} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{MK} = \vec{BC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (то есть соответствующие прямые параллельны) и равны по модулю. Таким образом, $MK \parallel BC$.

8. Мы доказали, что прямая $BC$ параллельна прямой $MK$ ($BC \parallel MK$), а прямая $MK$ лежит в плоскости $\alpha$ ($MK \subset \alpha$). По признаку параллельности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.