Номер 86, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

86. В основании $ABC$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечена точка $M$, через нее и вершину $S$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $AB$. Объясните, как построить сечение пирамиды плоскостью $\alpha$.

Для построения сечения пирамиды SABC плоскостью α, которая проходит через точку M в основании, вершину S и параллельна прямой AB, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

   Секущая плоскость α пересекает плоскость основания (ABC). По условию, плоскость α параллельна прямой AB ($ \alpha \parallel AB $), а прямая AB лежит в плоскости основания ($ AB \subset (ABC) $). Из свойства параллельности прямой и плоскости следует, что линия пересечения плоскости α и плоскости (ABC) будет прямой, параллельной AB. Точка M, по условию, принадлежит как плоскости α, так и плоскости основания (ABC), следовательно, она должна лежать на этой линии пересечения. Таким образом, первым шагом является построение в плоскости основания (ABC) прямой, проходящей через точку M параллельно прямой AB. Обозначим эту прямую l.

2. Нахождение вершин сечения на ребрах основания.

   Далее находим точки, в которых построенная прямая l пересекает ребра основания пирамиды. Пусть прямая l пересекает ребро AC в точке P, а ребро BC — в точке Q. Точки P и Q являются вершинами искомого сечения. Отрезок PQ — это сторона сечения, лежащая на грани основания пирамиды.

3. Построение остальных сторон сечения.

   По условию, секущая плоскость α проходит через вершину пирамиды S. Точка P лежит на ребре AC, которое является частью боковой грани SAC. Так как точки S и P принадлежат и плоскости α, и грани SAC, то отрезок SP является их линией пересечения и, следовательно, стороной сечения. Аналогично, точка Q лежит на ребре BC, принадлежащем боковой грани SBC. Так как точки S и Q принадлежат и плоскости α, и грани SBC, то отрезок SQ является линией их пересечения и еще одной стороной сечения.

4. Определение искомого сечения.

   Соединив последовательно точки S, P и Q, получаем треугольник SPQ. Этот треугольник и является искомым сечением. Проверим соответствие условиям задачи: плоскость треугольника SPQ проходит через вершину S; она проходит через прямую PQ, на которой лежит точка M; она параллельна прямой AB, так как содержит прямую PQ, построенную параллельно AB. Таким образом, треугольник SPQ — искомое сечение пирамиды.

Ответ: Искомым сечением является треугольник SPQ, где P и Q — это точки пересечения прямой, проведенной в плоскости основания через точку M параллельно ребру AB, с ребрами AC и BC соответственно.