Номер 79, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

79. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны единице. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AA_1$ и $CD$;

в) $AA_1$ и $BD$;

г) $AA_1$ и $BD_1$;

д) $AA_1$ и $BE_1$;

е) $AA_1$ и $C_1D$;

ж) $AA_1$ и $ED_1$;

з) $AA_1$ и $E_1C$;

и) $AA_1$ и $C_1F$.

В правильной шестиугольной призме боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Углом между двумя скрещивающимися прямыми является угол между одной из прямых и параллельной ей прямой, пересекающей вторую. Поскольку все ребра призмы равны 1, то высота призмы и сторона основания равны 1.

а) $AA_1$ и $BC$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Прямая $BC$ лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$. Угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) $AA_1$ и $CD$

Аналогично пункту а), прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит прямая $CD$. Следовательно, угол между $AA_1$ и $CD$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) $AA_1$ и $BD$

Аналогично пункту а), прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит прямая $BD$. Следовательно, угол между $AA_1$ и $BD$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

г) $AA_1$ и $BD_1$

Угол между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BD_1$ равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол равен углу $\angle B D_1 D$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDD_1$ (прямой угол $\angle D_1DB$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию).
Катет $DD_1 = 1$ (длина бокового ребра).
Катет $BD$ — малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1. Ее длина вычисляется по теореме косинусов для $\triangle BCD$: $BD = \sqrt{1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.
Тангенс угла $\angle B D_1 D$ равен отношению противолежащего катета $BD$ к прилежащему $DD_1$:
$\tan(\angle B D_1 D) = \frac{BD}{DD_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\angle B D_1 D = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

д) $AA_1$ и $BE_1$

Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $BB_1$. Искомый угол равен углу $\angle E_1BB_1$. Это неверно, угол должен быть $\angle BE_1B_1$. Или, что удобнее, заменим $AA_1$ на $EE_1$, тогда искомый угол равен $\angle BE_1E$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BE_1E$ (прямой угол $\angle E_1EB$, так как $EE_1$ перпендикулярно основанию).
Катет $EE_1 = 1$.
Катет $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Ее длина равна двум сторонам: $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
Тангенс угла $\angle BE_1E$ равен:
$\tan(\angle BE_1E) = \frac{BE}{EE_1} = \frac{2}{1} = 2$.
Следовательно, искомый угол равен $\arctan(2)$.
Ответ: $\arctan(2)$.

е) $AA_1$ и $C_1D$

Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол равен углу $\angle C_1DD_1$. Это неверно, угол должен быть $\angle DC_1C$. Заменим $AA_1$ на $CC_1$, тогда искомый угол равен $\angle DC_1C$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DC_1C$ (прямой угол $\angle C_1CD$).
Катет $CC_1 = 1$.
Катет $CD = 1$ (сторона основания).
Треугольник $\triangle DC_1C$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$.
Таким образом, $\angle DC_1C = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

ж) $AA_1$ и $ED_1$

Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол равен углу $\angle E D_1 D$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EDD_1$ (прямой угол $\angle D_1DE$).
Катет $DD_1 = 1$.
Катет $ED = 1$ (сторона основания).
Треугольник $\triangle EDD_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, поэтому $\angle E D_1 D = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

з) $AA_1$ и $E_1C$

Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $EE_1$. Искомый угол равен углу $\angle CE_1E$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CE_1E$ (прямой угол $\angle E_1EC$).
Катет $EE_1 = 1$.
Катет $EC$ — малая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1, ее длина равна $\sqrt{3}$.
Тангенс угла $\angle CE_1E$ равен:
$\tan(\angle CE_1E) = \frac{EC}{EE_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\angle CE_1E = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

и) $AA_1$ и $C_1F$

Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $FF_1$. Искомый угол равен углу $\angle C_1FF_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1FF_1$ (прямой угол $\angle F_1FC_1$).
Катет $FF_1 = 1$.
Катет $FC_1$ в верхнем основании равен большой диагонали $FC$ в нижнем. $FC = 2$.
Тангенс угла $\angle C_1FF_1$ равен:
$\tan(\angle C_1FF_1) = \frac{F_1C_1}{FF_1} = \frac{2}{1} = 2$.
Следовательно, искомый угол равен $\arctan(2)$.
Ответ: $\arctan(2)$.