Номер 75, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

75. Теорема Дезарга. Прямые $a$, $b$ и $c$ попарно пересекаются в точках $C$, $A$ и $B$, а прямые $a_1$, $b_1$ и $c_1$ — в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ (рис. 39). Если при этом прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку, то прямые каждой пары $(AB, A_1B_1)$, $(BC, B_1C_1)$, $(AC, A_1C_1)$ пересекаются в точках $P$, $Q$, $R$ соответственно, и все эти точки пересечения лежат на одной прямой. Докажите эту теорему.

Рис. 39

Данная задача формулирует и просит доказать теорему Дезарга.

Формулировка теоремы:

Даны два треугольника: $\triangle ABC$ (образованный пересечением прямых $a, b, c$) и $\triangle A_1B_1C_1$ (образованный пересечением прямых $a_1, b_1, c_1$). Если прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке $S$ (т.е. треугольники перспективны из точки), то точки пересечения соответственных сторон $P = AB \cap A_1B_1$, $Q = BC \cap B_1C_1$ и $R = AC \cap A_1C_1$ лежат на одной прямой (т.е. треугольники перспективны с прямой).

Доказательство:

Доказательство удобно провести, рассмотрев два случая: когда треугольники лежат в разных плоскостях и когда они лежат в одной плоскости.

1. Случай, когда треугольники лежат в разных плоскостях.

Этот случай проиллюстрирован на рисунке к задаче.

Пусть $\triangle ABC$ лежит в плоскости $\pi$, а $\triangle A_1B_1C_1$ — в плоскости $\pi_1$, и эти плоскости различны ($\pi \neq \pi_1$). Так как треугольники не лежат в параллельных плоскостях (иначе их соответственные стороны были бы параллельны и не пересекались бы в точках $P, Q, R$), плоскости $\pi$ и $\pi_1$ пересекаются по некоторой прямой $l$.

Рассмотрим пару соответственных сторон $AB$ и $A_1B_1$. По условию, прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $S$. Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\sigma_{AB}$. В этой плоскости лежат точки $S, A, A_1, B, B_1$. Следовательно, прямые $AB$ и $A_1B_1$ также лежат в плоскости $\sigma_{AB}$.

Поскольку прямые $AB$ и $A_1B_1$ лежат в одной плоскости $\sigma_{AB}$, они либо пересекаются, либо параллельны. По условию, они пересекаются в точке $P$.

• Точка $P$ лежит на прямой $AB$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $\pi$. Следовательно, $P \in \pi$.
• Точка $P$ лежит на прямой $A_1B_1$, а прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\pi_1$. Следовательно, $P \in \pi_1$.

Поскольку точка $P$ принадлежит обеим плоскостям $\pi$ и $\pi_1$, она должна лежать на их линии пересечения $l$. Таким образом, $P \in l$.

Аналогично рассуждаем для двух других пар соответственных сторон:

• Прямые $BC$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости $\sigma_{BC}$, определяемой пересекающимися прямыми $BB_1$ и $CC_1$. Их точка пересечения $Q$ принадлежит как прямой $BC$ (и плоскости $\pi$), так и прямой $B_1C_1$ (и плоскости $\pi_1$). Следовательно, $Q$ лежит на линии пересечения плоскостей $\pi$ и $\pi_1$, то есть $Q \in l$.
• Прямые $AC$ и $A_1C_1$ лежат в одной плоскости $\sigma_{AC}$, определяемой пересекающимися прямыми $AA_1$ и $CC_1$. Их точка пересечения $R$ принадлежит как прямой $AC$ (и плоскости $\pi$), так и прямой $A_1C_1$ (и плоскости $\pi_1$). Следовательно, $R$ лежит на линии пересечения плоскостей $\pi$ и $\pi_1$, то есть $R \in l$.

Итак, все три точки пересечения $P, Q, R$ лежат на одной прямой $l$. Теорема для случая некопланарных треугольников доказана.

2. Случай, когда треугольники лежат в одной плоскости.

Пусть теперь оба треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в одной плоскости $\pi$. Точка пересечения прямых $AA_1, BB_1, CC_1$, точка $S$, также лежит в этой плоскости.

Для доказательства этого случая "поднимем" задачу в трехмерное пространство. Выберем произвольную точку $O$ вне плоскости $\pi$. Проведем через точку $O$ и вершины треугольников прямые.

На прямой $OA_1$ выберем произвольную точку $A_2$, не совпадающую с $O$ и $A_1$. Точки $O, A, A_1$ лежат в одной плоскости, так как $S, A, A_1$ коллинеарны. Прямые $OA$ и $SA_2$ лежат в одной плоскости $(OSA_1)$. Пусть прямые $SA$ и $OA_2$ пересекаются в точке $A'$. Аналогично, построим точки $B' = SB \cap OB_2$ и $C' = SC \cap OC_2$, где $B_2$ и $C_2$ выбраны на $OB_1$ и $OC_1$.

Рассмотрим более простой и стандартный метод "поднятия в пространство":

Возьмем прямую $g$, проходящую через точку $S$, но не лежащую в плоскости $\pi$. На этой прямой выберем две различные точки $O_1$ и $O_2$.

Рассмотрим прямые $O_1A$ и $O_2A_1$. Они лежат в одной плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми $g$ и $AA_1$ (так как $S \in g$ и $S \in AA_1$). Следовательно, прямые $O_1A$ и $O_2A_1$ пересекаются (или параллельны). Обозначим точку их пересечения $A'$.

Аналогично построим точки $B' = O_1B \cap O_2B_1$ и $C' = O_1C \cap O_2C_1$.

Получили новый треугольник $A'B'C'$, который не лежит в плоскости $\pi$.

Теперь у нас есть две пары треугольников, перспективных из точки:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ перспективны из точки $O_1$ (по построению).
• $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A'B'C'$ перспективны из точки $O_2$ (по построению).

Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ не копланарны, по доказанному в пункте 1, их соответственные стороны пересекаются на прямой, являющейся пересечением их плоскостей. Плоскость $\triangle ABC$ - это $\pi$, а плоскость $\triangle A'B'C'$ обозначим $\pi'$. Точки пересечения $AB \cap A'B'$, $BC \cap B'C'$, $AC \cap A'C'$ лежат на прямой $l = \pi \cap \pi'$.

Аналогично, для некопланарных треугольников $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A'B'C'$. Их соответственные стороны пересекаются на линии пересечения их плоскостей, то есть на той же прямой $l = \pi \cap \pi'$.

Осталось показать, что точка $P = AB \cap A_1B_1$ лежит на этой же прямой $l$.

Рассмотрим три прямые: $AB$, $A_1B_1$ и $A'B'$.

• Прямая $AB$ является линией пересечения плоскости $\pi$ и плоскости, проходящей через точки $O_1, A, B$ (обозначим ее $\sigma_{AB}$).
• Прямая $A_1B_1$ является линией пересечения плоскости $\pi$ и плоскости, проходящей через точки $O_2, A_1, B_1$ (обозначим ее $\sigma_{A_1B_1}$).
• Прямая $A'B'$ является линией пересечения плоскостей $\sigma_{AB}$ и $\sigma_{A_1B_1}$ (так как $A', B'$ по построению лежат в обеих этих плоскостях).

Таким образом, три прямые $AB$, $A_1B_1$ и $A'B'$ являются линиями попарного пересечения трех плоскостей: $\pi$, $\sigma_{AB}$, $\sigma_{A_1B_1}$. По теореме о пересечении трех плоскостей, эти три прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Поскольку $A'B'$ не лежит в плоскости $\pi$, они не могут быть все параллельны. Значит, они пересекаются в одной точке.

Точка пересечения прямых $AB$ и $A_1B_1$ — это точка $P$. Следовательно, прямая $A'B'$ также проходит через точку $P$.

Мы знаем, что точка пересечения прямых $AB$ и $A'B'$ лежит на прямой $l$. Но эта точка и есть $P$. Таким образом, $P \in l$.

Аналогичные рассуждения для точек $Q$ и $R$ показывают, что $Q \in l$ и $R \in l$.

Следовательно, точки $P, Q, R$ лежат на одной прямой $l$. Теорема доказана и для случая копланарных треугольников.

Замечание о параллельных прямых: Если какие-то из соответственных сторон параллельны (например, $AB \parallel A_1B_1$), то в евклидовой геометрии точка их пересечения $P$ не существует. В проективной геометрии считается, что они пересекаются в "бесконечно удаленной точке". Теорема Дезарга остается верной и в этом случае: если две пары соответственных сторон параллельны, то и третья пара параллельна. А если только одна пара параллельна, то прямая $QR$ будет параллельна этим сторонам.

Ответ: Теорема Дезарга доказана. Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то точки пересечения продолжений их соответственных сторон лежат на одной прямой.