Номер 73, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

73. Точки $P$ и $Q$ отмечены в основании $ABCD$ пирамиды $SABCD$, точки $M$ и $N$ — на ребре $SA$ и в грани $SBC$ соответственно (рис. 38). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ и параллельной прямой $PQ$.

Для построения искомого сечения пирамиды `SABCD` плоскостью `\alpha`, которая проходит через точки `M` и `N` и параллельна прямой `PQ`, необходимо выполнить следующую последовательность шагов, основанную на методе следов.

Шаг 1. Нахождение точки секущей плоскости в плоскости основания

Чтобы построить след секущей плоскости на плоскости основания, нам нужна хотя бы одна их общая точка. Найдем точку `K`, в которой прямая `MN` пересекает плоскость основания `(ABC)`.

1. Точка `N` лежит в грани `(SBC)`. Проведем прямую через вершину пирамиды `S` и точку `N` до пересечения с прямой `BC`, лежащей в основании. Обозначим эту точку $N' = SN \cap BC$.
2. Рассмотрим вспомогательную плоскость `(SAN')`. Точки `M` (принадлежит `SA`) и `N` (принадлежит `SN'`) лежат в этой плоскости, а значит, и прямая `MN` целиком лежит в плоскости `(SAN')`.
3. Плоскость `(SAN')` пересекает плоскость основания `(ABC)` по прямой `AN'`.
4. Поскольку прямые `MN` и `AN'` лежат в одной плоскости `(SAN')`, мы можем найти их точку пересечения: $K = MN \cap AN'$.
5. Точка `K` является искомой, так как она одновременно принадлежит секущей плоскости `\alpha` (поскольку лежит на прямой `MN`) и плоскости основания `(ABC)` (поскольку лежит на прямой `AN'`).

Шаг 2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След секущей плоскости `\alpha` на плоскости основания `(ABC)` — это прямая `l_1`, которая является их линией пересечения.

1. Мы знаем, что $K \in l_1$.
2. По условию задачи, $\alpha || PQ$. Прямая `PQ` лежит в плоскости `(ABC)`. По свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения `\alpha` с плоскостью `(ABC)` (то есть `l_1`) должна быть параллельна прямой `PQ`. Таким образом, $l_1 || PQ$.
3. Через точку `K` проводим прямую `l_1` параллельно `PQ`. Эта прямая и есть след секущей плоскости на плоскости основания.

Шаг 3. Последовательное построение сторон сечения

Теперь, имея след `l_1`, мы можем последовательно найти вершины сечения (точки пересечения плоскости `\alpha` с ребрами пирамиды) и соединить их.

1. Грань `(SAB)`: Найдем точку пересечения следа `l_1` с прямой `AB`: $T_1 = l_1 \cap AB$. В грани `(SAB)` проведем прямую через известные нам точки плоскости `\alpha`: `M` и `T_1`. Эта прямая пересечет ребро `SB` в точке `V_1`. $V_1 = MT_1 \cap SB$. Отрезок `MV_1` — одна из сторон сечения.
2. Грань `(SBC)`: В этой грани нам известны две точки плоскости `\alpha`: точка `N` (из условия) и точка `V_1` (построена на ребре `SB`). Проведем через них прямую `NV_1`. Эта прямая пересечет ребро `SC` в точке `V_2`. $V_2 = NV_1 \cap SC$. Отрезок `V_1V_2` — вторая сторона сечения.
3. Грань `(SCD)`: Найдем точку пересечения следа `l_1` с прямой `CD`: $T_2 = l_1 \cap CD$. В грани `(SCD)` проведем прямую через известные нам точки плоскости `\alpha`: `V_2` и `T_2`. Эта прямая пересечет ребро `SD` в точке `V_3`. $V_3 = V_2T_2 \cap SD$. Отрезок `V_2V_3` — третья сторона сечения.
4. Грань `(SAD)`: В этой грани нам известны точки `M` на ребре `SA` и `V_3` на ребре `SD`, принадлежащие плоскости `\alpha`. Соединяем их отрезком `MV_3`, который является четвертой, замыкающей стороной сечения. Для проверки построения можно убедиться, что точки `M`, `V_3` и $l_1 \cap AD$ лежат на одной прямой.

В результате выполненных построений мы получаем многоугольник, являющийся искомым сечением. В рассмотренном общем случае это четырехугольник `MV_1V_2V_3`.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, построенный согласно приведенному алгоритму. В общем случае его вершинами являются точки `M`, `V_1`, `V_2`, `V_3`, лежащие на ребрах `SA`, `SB`, `SC`, `SD` соответственно.