Номер 68, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

68. Докажите, что если точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, то прямые $AB$ и $CD$ скрещивающиеся.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые AB и CD не являются скрещивающимися. По определению, две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Соответственно, наше предположение означает, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости.

Если две прямые лежат в одной плоскости, они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Рассмотрим оба варианта:

1. Если прямые AB и CD пересекаются, то по теореме о существовании единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, они задают некоторую плоскость $\alpha$.
2. Если прямые AB и CD параллельны, то по теореме о существовании единственной плоскости, проходящей через две параллельные прямые, они также задают некоторую плоскость $\alpha$.

В обоих случаях существует плоскость $\alpha$, в которой лежат обе прямые AB и CD.

Поскольку прямая AB лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки, включая точки A и B, принадлежат этой плоскости. Аналогично, поскольку прямая CD лежит в плоскости $\alpha$, то и точки C и D принадлежат этой плоскости.

Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости $\alpha$.

Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, прямые AB и CD не могут лежать в одной плоскости, и, следовательно, они являются скрещивающимися.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.