Номер 62, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

62. Прямая $b$ пересекает плоскость треугольника $ABC$, точки $L$ и $S$ выбраны на прямой $b$, а точки $K$ и $R$ — на прямой $AB$ (рис. 34). Верно ли, что прямые $KL$ и $RS$ пересекаются?

Рис. 34

Для того чтобы две прямые в пространстве пересекались, необходимо и достаточно, чтобы они лежали в одной плоскости и не были параллельны.

Рассмотрим прямые KL и RS. Они будут лежать в одной плоскости только в том случае, если все четыре точки K, L, R и S лежат в одной плоскости.

По условию задачи, точки K и R лежат на прямой AB, а точки L и S — на прямой b. Четыре точки K, L, R, S будут лежать в одной плоскости тогда и только тогда, когда прямые AB и b, на которых они расположены, лежат в одной плоскости.

Две прямые в пространстве лежат в одной плоскости, если они пересекаются или параллельны.

Прямая AB лежит в плоскости треугольника ABC (обозначим ее $\alpha$). Прямая b пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке. Из этого следует, что прямая b не может быть параллельна прямой AB. Если бы прямая b была параллельна прямой AB, то она была бы параллельна и всей плоскости $\alpha$ (или лежала бы в ней), что противоречит условию, согласно которому прямая b пересекает плоскость $\alpha$.

Следовательно, прямые AB и b могут лежать в одной плоскости, только если они пересекаются. Это произойдет, если точка пересечения прямой b с плоскостью $\alpha$ принадлежит прямой AB.

Однако, в общем случае (и как показано на рисунке), прямая b пересекает плоскость $\alpha$ в точке, не лежащей на прямой AB. В этом случае прямые AB и b являются скрещивающимися, то есть не лежат в одной плоскости.

Если прямые AB и b скрещивающиеся, то точки K, L, R, S не лежат в одной плоскости. Тогда и прямые KL и RS, построенные на этих точках, также будут скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не пересекаются.

Таким образом, утверждение о том, что прямые KL и RS пересекаются, не является верным в общем случае.

Ответ: нет, не верно.