Номер 57, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

57. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ проходят через точку $C$ и скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ соответственно. Верно ли, что линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и хотя бы одна из прямых $a$ и $b$ скрещивающиеся?

Данное утверждение неверно.

Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ через $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap \beta$. По определению линии пересечения, прямая $l$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. То есть, $l \subset \alpha$ и $l \subset \beta$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $l$ и прямой $a$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, что означает $a \subset \alpha$. Поскольку и прямая $a$, и прямая $l$ лежат в одной плоскости $\alpha$, они являются компланарными. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Так как прямые $a$ и $l$ лежат в одной плоскости, они не могут быть скрещивающимися. Они могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $l$ и прямой $b$. Аналогично, по условию, плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$, что означает $b \subset \beta$. Поскольку и прямая $b$, и прямая $l$ лежат в одной плоскости $\beta$, они также являются компланарными. Следовательно, прямые $b$ и $l$ не могут быть скрещивающимися.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $l$ не является скрещивающейся ни с одной из прямых $a$ и $b$. Это означает, что утверждение "линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и хотя бы одна из прямых $a$ и $b$ скрещивающиеся" является ложным.

Ответ: Нет, неверно.