Номер 53, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

53. Точки $P, Q, R, S$ – середины соответственно ребер $AC, BC, BD, AD$ треугольной пирамиды $ABCD$. Найдите длину ломаной $PQRSP$, учитывая, что $AB = 12$ см, $CD = 16$ см.

Для нахождения длины ломаной PQRSP необходимо сложить длины отрезков, из которых она состоит: $PQ$, $QR$, $RS$ и $SP$. Мы можем найти длину каждого из этих отрезков, используя свойство средней линии треугольника.

Нахождение длины отрезка PQ

В треугольнике $ABC$ точки P и Q являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

$PQ = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Нахождение длины отрезка QR

Аналогично, в треугольнике $BCD$ точки Q и R являются серединами сторон $BC$ и $BD$. Значит, $QR$ — средняя линия треугольника $BCD$.

$QR = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Нахождение длины отрезка RS

В треугольнике $ABD$ точки R и S являются серединами сторон $BD$ и $AD$. Следовательно, $RS$ — средняя линия треугольника $ABD$.

$RS = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Нахождение длины отрезка SP

В треугольнике $ACD$ точки S и P являются серединами сторон $AD$ и $AC$. Следовательно, $SP$ — средняя линия треугольника $ACD$.

$SP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Вычисление общей длины ломаной PQRSP

Теперь сложим длины всех отрезков, чтобы найти общую длину ломаной:

Длина PQRSP = $PQ + QR + RS + SP = 6 + 8 + 6 + 8 = 28$ см.

Также можно заметить, что длина ломаной равна сумме длин ребер $AB$ и $CD$: $12 + 16 = 28$ см.

Ответ: 28 см.