Номер 47, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

47. На ребре $SC$ и в гранях $SAB$, $SAD$ пирамиды $SABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $K$ (рис. 30). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $MNK$.

Рис. 30

Для построения искомого сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $MNK$ выполним следующие шаги:

1. Построение прямой, по которой секущая плоскость $(MNK)$ пересекает плоскость диагонального сечения $(SAC)$.

   Точка $M$ принадлежит ребру $SC$, следовательно, $M$ уже лежит в плоскости $(SAC)$. Для построения прямой пересечения нам нужна еще одна общая точка плоскостей $(MNK)$ и $(SAC)$. Такой точкой является точка пересечения прямой $NK$ с плоскостью $(SAC)$.

   Для нахождения этой точки используем вспомогательную плоскость. Прямая $NK$ лежит во вспомогательной плоскости, проходящей через вершину $S$ и точки $N$ и $K$. Назовем ее $(SNK)$.

   а) Найдем линию пересечения плоскости $(SNK)$ с плоскостью основания $(ABCD)$. Прямая $SN$ лежит в грани $(SAB)$, ее продолжение пересекает продолжение прямой $AB$ в некоторой точке $N_1$. Прямая $SK$ лежит в грани $(SAD)$, ее продолжение пересекает продолжение прямой $AD$ в точке $K_1$. Прямая $N_1K_1$ является линией пересечения плоскости $(SNK)$ с плоскостью основания $(ABCD)$.

   б) Плоскость диагонального сечения $(SAC)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $AC$.

   в) Найдем точку пересечения прямых $N_1K_1$ и $AC$. Обозначим эту точку $X$. Точка $X$ принадлежит обеим плоскостям: $(SNK)$ и $(SAC)$.

   г) Поскольку вершина $S$ также является общей для плоскостей $(SNK)$ и $(SAC)$, то их линия пересечения — это прямая $SX$.

   д) Прямая $NK$ лежит в плоскости $(SNK)$, как и прямая $SX$. Следовательно, они пересекаются. Обозначим их точку пересечения $P$. Так как $P$ лежит на $SX$, то $P \in (SAC)$. Так как $P$ лежит на $NK$, то $P \in (MNK)$. Значит, $P$ — вторая общая точка двух плоскостей.

   е) Прямая $MP$ является линией пересечения секущей плоскости $(MNK)$ и плоскости $(SAC)$.

2. Нахождение вершин сечения на рёбрах пирамиды.

   а) Прямая $MP$ лежит в плоскости $(SAC)$ и пересекает ребро $SA$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $Q$. Точка $Q$ — одна из вершин искомого сечения.

   б) Теперь рассмотрим грань $(SAB)$. В этой грани лежат точки $Q$ и $N$, обе они принадлежат секущей плоскости. Проведем прямую $QN$. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $T$. $T$ — вторая вершина сечения.

   в) Аналогично для грани $(SAD)$. В этой грани лежат точки $Q$ и $K$, обе принадлежат секущей плоскости. Проведем прямую $QK$. Эта прямая пересечет ребро $SD$ в точке $R$. $R$ — третья вершина сечения.

3. Завершение построения сечения.

   Мы получили четыре точки, лежащие на ребрах пирамиды и в секущей плоскости: $Q$ на $SA$, $T$ на $SB$, $M$ на $SC$ и $R$ на $SD$.

   а) Точки $Q$ и $T$ лежат в грани $(SAB)$, соединяем их отрезком $QT$.

   б) Точки $T$ и $M$ лежат в грани $(SBC)$, соединяем их отрезком $TM$.

   в) Точки $M$ и $R$ лежат в грани $(SDC)$, соединяем их отрезком $MR$.

   г) Точки $R$ и $Q$ лежат в грани $(SAD)$, соединяем их отрезком $RQ$.

   Полученный четырехугольник $QTRM$ является искомым сечением пирамиды плоскостью $(MNK)$.

   

   Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $QTRM$, построенный в соответствии с описанными шагами.