Номер 42, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

42. На ребре $B_1C_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в грани $CC_1D_1$ и плоскости $ABC$ отмечены соответственно точки $P, Q, R$ (рис. 25). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $PQR$.

Рис. 25

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $P$, $Q$ и $R$, воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания призмы, а затем последовательном нахождении точек пересечения этого следа с ребрами основания и построении остальных сторон сечения.

Построение сечения

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

След – это прямая, по которой секущая плоскость $(PQR)$ пересекает плоскость основания $(ABC)$.

• Точка $R$ по условию лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, она принадлежит и следу.
• Чтобы найти вторую точку следа, найдем точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого используем метод проекций:
  1. Спроецируем точки $P$ и $Q$ на плоскость основания $(ABC)$ параллельно боковым ребрам призмы. Точка $P$ лежит на ребре $B_1C_1$, ее проекцией будет точка $P'$ на ребре $BC$. Точка $Q$ лежит в грани $CC_1D_1D$, ее проекцией будет точка $Q'$ на ребре $CD$.
  2. Построим прямые $PQ$ и $P'Q'$. Эти прямые лежат в одной плоскости (проектирующей плоскости), поэтому они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $S$.
  3. Так как точка $S$ лежит на прямой $P'Q'$, а $P'Q'$ лежит в плоскости $(ABC)$, то точка $S$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Так как точка $S$ лежит на прямой $PQ$, а $PQ$ лежит в секущей плоскости $(PQR)$, то точка $S$ принадлежит плоскости $(PQR)$.
  4. Таким образом, точка $S$ является второй точкой следа.
• Проводим прямую через точки $R$ и $S$. Эта прямая $RS$ и есть след секущей плоскости на плоскости основания. Обозначим ее $l$.

2. Нахождение сторон сечения, лежащих на гранях призмы.

• Находим точки пересечения следа $l$ с ребрами основания $ABCD$. В зависимости от расположения точек $P, Q, R$, след может пересекать разные ребра. Предположим, что след $l$ пересекает ребра $AB$ и $BC$ в точках $V_1$ и $V_2$ соответственно. Тогда отрезок $V_1V_2$ – это одна из сторон искомого сечения, лежащая на нижнем основании.
• Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. В этой грани лежат две точки секущей плоскости: точка $V_2$ (на ребре $BC$) и точка $P$ (на ребре $B_1C_1$). Соединив их, получим отрезок $V_2P$, который является стороной сечения на грани $BCC_1B_1$.
• Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельны. Следовательно, линии пересечения секущей плоскости с этими плоскостями также должны быть параллельны. Это значит, что линия сечения на верхнем основании должна быть параллельна следу $l$ на нижнем основании.
• Проведем через точку $P$ в плоскости верхнего основания прямую, параллельную следу $l$ (а значит, и отрезку $V_1V_2$). Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $V_3$. Тогда отрезок $PV_3$ – это сторона сечения, лежащая на верхнем основании.
• Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. В ней лежат две точки секущей плоскости: $V_1$ (на ребре $AB$) и $V_3$ (на ребре $A_1B_1$). Соединяем их и получаем последнюю сторону сечения – отрезок $V_1V_3$.

3. Итоговое сечение.

В результате выполненных построений мы получили замкнутый многоугольник. В рассмотренном примере это четырехугольник $V_1V_2PV_3$. Этот четырехугольник и является искомым сечением призмы плоскостью $PQR$.

Ответ: Искомым сечением является многоугольник, построенный в соответствии с описанным алгоритмом. В зависимости от конкретного расположения точек $P, Q, R$ сечение может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником или шестиугольником. В разобранном примере построений сечением является четырехугольник $V_1V_2PV_3$.