Номер 36, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

36. В кубе с ребром 12 см возле каждой вершины сделали плоский срез (рис. 19), который является правильным треугольником со стороной 4 см. Найдите общую длину ребер полученного многогранника и площадь его поверхности.

Рис. 19

Исходные данные: куб с ребром $a = 12$ см. У каждой из 8 вершин куба делается плоский срез. Каждый срез представляет собой правильный треугольник со стороной $b = 4$ см.

Для начала определим, на каком расстоянии от вершины куба проходит плоскость среза. Рассмотрим одну вершину куба. В ней сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Срез отсекает от каждого из этих ребер отрезок одинаковой длины, обозначим ее $x$. Точки среза на этих ребрах являются вершинами нового треугольного сечения. Расстояние между любыми двумя такими точками (то есть сторона треугольника) можно найти по теореме Пифагора. В плоскости грани куба эти две точки и вершина куба образуют прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $x$. Сторона среза $b$ является гипотенузой этого треугольника.

Следовательно, $b^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$. Подставим известные значения:

$4^2 = 2x^2$

$16 = 2x^2$

$x^2 = 8$

$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Таким образом, от каждого ребра, примыкающего к вершине, отсекается отрезок длиной $2\sqrt{2}$ см.

Общая длина ребер полученного многогранника

Ребра полученного многогранника делятся на два типа:

1. Новые ребра, образовавшиеся в результате срезов. Это стороны 8 правильных треугольников.
2. Оставшиеся части исходных ребер куба.

1. Найдем общую длину новых ребер. Всего срезов 8 (по числу вершин куба). Каждый срез — это треугольник с 3 сторонами. Длина каждой стороны $b = 4$ см.

Количество новых ребер: $8 \text{ вершин} \times 3 \text{ ребра/треугольник} = 24$ ребра.

Общая длина новых ребер: $L_1 = 24 \times 4 = 96$ см.

2. Найдем общую длину оставшихся частей исходных ребер куба. У куба 12 ребер. Каждое ребро соединяет две вершины. Поскольку срез делается у каждой вершины, каждое исходное ребро укорачивается с двух сторон. Длина отрезка, отсекаемого с каждой стороны, равна $x = 2\sqrt{2}$ см.

Новая длина каждого из исходных ребер: $a' = a - 2x = 12 - 2(2\sqrt{2}) = 12 - 4\sqrt{2}$ см.

Общая длина этих 12 ребер: $L_2 = 12 \times (12 - 4\sqrt{2}) = 144 - 48\sqrt{2}$ см.

3. Общая длина всех ребер полученного многогранника равна сумме $L_1$ и $L_2$.

$L = L_1 + L_2 = 96 + (144 - 48\sqrt{2}) = 240 - 48\sqrt{2}$ см.

Ответ: $240 - 48\sqrt{2}$ см.

Площадь его поверхности

Поверхность полученного многогранника состоит из двух типов граней:

1. 8 новых граней — правильных треугольников.
2. 6 измененных граней куба, которые из квадратов превратились в восьмиугольники.

1. Найдем площадь всех треугольных граней. Площадь правильного треугольника со стороной $b$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2$.

Площадь одной треугольной грани: $S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Общая площадь 8 треугольных граней: $S_1 = 8 \times 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь всех восьмиугольных граней. Каждая такая грань получена из квадрата со стороной $a=12$ см путем отсечения четырех углов. Каждый отсеченный угол — это прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными $x = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь исходной квадратной грани: $S_{квадрата} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$.

Площадь одного отсеченного уголка: $S_{угла} = \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см$^2$.

Площадь одной восьмиугольной грани: $S_{восьмиугольника} = S_{квадрата} - 4 \cdot S_{угла} = 144 - 4 \cdot 4 = 144 - 16 = 128$ см$^2$.

Общая площадь 6 восьмиугольных граней: $S_2 = 6 \times 128 = 768$ см$^2$.

3. Общая площадь поверхности полученного многогранника равна сумме $S_1$ и $S_2$.

$S = S_1 + S_2 = 32\sqrt{3} + 768$ см$^2$.

Ответ: $768 + 32\sqrt{3}$ см$^2$.