Номер 38, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

38. Точки E, F, G отмечены соответственно на ребрах $QR$, $QQ_1$, $P_1S_1$ призмы $PQRS P_1Q_1R_1S_1$ (рис. 21). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $SS_1$ с плоскостью $EFG$.

Рис. 21

Для построения точки пересечения ребра $SS_1$ с плоскостью $EFG$ необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Мы будем использовать метод вспомогательных плоскостей.

Идея метода заключается в том, чтобы найти линию пересечения плоскости $EFG$ с плоскостью какой-либо грани, которой принадлежит ребро $SS_1$. Такой гранью является, например, боковая грань $PSS_1P_1$. Искомая точка будет лежать на пересечении ребра $SS_1$ и найденной линии.

Ниже представлен пошаговый алгоритм построения.

1. Построение линии пересечения плоскостей боковых граней $(QRR_1Q_1)$ и $(PSS_1P_1)$.

   Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие точки этих плоскостей. В данном случае удобнее найти одну общую точку и определить направление линии пересечения. Прямые $QR$ и $PS$ лежат в плоскости нижнего основания призмы. Продлим их до пересечения в точке $T$. Точка $T$ принадлежит прямой $QR$, а значит и плоскости $(QRR_1Q_1)$. Также точка $T$ принадлежит прямой $PS$, а значит и плоскости $(PSS_1P_1)$. Следовательно, точка $T$ является общей точкой двух плоскостей. Так как боковые ребра призмы ($PP_1, QQ_1, RR_1, SS_1$) параллельны между собой, то линия пересечения боковых граней $(QRR_1Q_1)$ и $(PSS_1P_1)$ будет проходить через точку $T$ и будет параллельна боковым ребрам. Проведем через точку $T$ прямую $m$ параллельно ребру $SS_1$. Прямая $m$ и есть линия пересечения указанных плоскостей.

2. Нахождение точки пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(PSS_1P_1)$.

   Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $QR$ и $QQ_1$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани $(QRR_1Q_1)$, поэтому и вся прямая $EF$ лежит в плоскости этой грани. Точка пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(PSS_1P_1)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(QRR_1Q_1)$ и $(PSS_1P_1)$, то есть на построенной нами прямой $m$. Таким образом, для нахождения этой точки (обозначим ее $H$) достаточно в плоскости $(QRR_1Q_1)$ найти пересечение прямых $EF$ и $m$. $H = EF \cap m$. Точка $H$ является точкой пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(PSS_1P_1)$.

3. Построение линии пересечения плоскости $EFG$ с плоскостью $(PSS_1P_1)$.

   Теперь у нас есть две точки, которые одновременно принадлежат и секущей плоскости $EFG$, и плоскости грани $(PSS_1P_1)$:

   • Точка $G$: она лежит на ребре $P_1S_1$, которое является частью грани $(PSS_1P_1)$, и по условию принадлежит плоскости $EFG$.
   • Точка $H$: по построению она лежит в плоскости $(PSS_1P_1)$ и на прямой $EF$, а значит, и в плоскости $EFG$.

   Следовательно, прямая, проходящая через точки $G$ и $H$, является линией пересечения плоскости $EFG$ и плоскости грани $(PSS_1P_1)$.

4. Нахождение искомой точки.

   Искомая точка пересечения ребра $SS_1$ с плоскостью $EFG$ должна лежать как на ребре $SS_1$, так и в плоскости $EFG$. Поскольку ребро $SS_1$ целиком лежит в плоскости грани $(PSS_1P_1)$, искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $EFG$ и $(PSS_1P_1)$, то есть на прямой $GH$. Обе прямые, $SS_1$ и $GH$, лежат в одной плоскости $(PSS_1P_1)$. Найдем их точку пересечения. Эта точка, обозначенная как $X$, и будет искомой точкой пересечения ребра $SS_1$ с плоскостью $EFG$. $X = SS_1 \cap GH$.

Ответ: Искомая точка $X$ строится следующим образом:
1. Продлеваются ребра $QR$ и $PS$ до пересечения в точке $T$.
2. Через $T$ проводится прямая $m$, параллельная боковому ребру $SS_1$.
3. Продлевается прямая $EF$ до пересечения с прямой $m$ в точке $H$.
4. Проводится прямая $GH$.
5. Точка пересечения прямой $GH$ и ребра $SS_1$ является искомой точкой $X$.