Номер 31, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

31. На ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $M$, $N$, $K$ (рис. 14). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$.

Рис. 14

Для построения точки пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(MNK)$, которую мы обозначим $L$, воспользуемся методом, основанным на свойстве параллельных плоскостей. Суть метода заключается в том, что если некоторая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны друг другу.

Пошаговое построение и его обоснование:

1. Рассмотрим противолежащие боковые грани призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$: грань $ABB_1A_1$ и грань $CDD_1C_1$. В призме плоскости, содержащие эти грани, параллельны. Обозначим их как плоскость $(ABB_1)$ и плоскость $(CDD_1)$.
2. Плоскость $(MNK)$ пересекает обе эти параллельные плоскости.
3. Линией пересечения плоскости $(MNK)$ и плоскости $(ABB_1)$ является прямая $MN$, поскольку точки $M \in AA_1$ и $N \in BB_1$ принадлежат обеим плоскостям.
4. Согласно свойству, упомянутому выше, линия пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(CDD_1)$ должна быть параллельна прямой $MN$.
5. Точка $K$ принадлежит ребру $CC_1$, а значит, и грани $CDD_1C_1$. По определению, она также принадлежит плоскости $(MNK)$. Следовательно, точка $K$ лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.
6. Из этого следует, что для нахождения линии пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(CDD_1)$ нужно через точку $K$ провести прямую, параллельную прямой $MN$. Назовем эту прямую $l$.
7. Искомая точка $L$ — это точка пересечения ребра $DD_1$ и плоскости $(MNK)$. Так как ребро $DD_1$ полностью лежит в плоскости $(CDD_1)$, то точка $L$ должна лежать как на ребре $DD_1$, так и на линии пересечения $l$.
8. Таким образом, искомая точка $L$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ и построенной прямой $l$.

Наглядное изображение построения представлено на рисунке:

Ответ: Искомая точка пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$ строится как точка пересечения ребра $DD_1$ с прямой, проходящей через точку $K$ параллельно прямой $MN$.