Номер 27, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

27. Точки $A$, $B$, $C$ выбраны в плоскости $\alpha$ так, что лучи $KA$, $KB$, $KC$ лежат в одной плоскости. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой.

Пусть $ \alpha $ — это плоскость, в которой по условию лежат точки A, B, C. Пусть $ \beta $ — это плоскость, в которой по условию лежат лучи KA, KB, KC.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точки K относительно плоскости $ \alpha $.

1. Случай, когда точка K лежит в плоскости $ \alpha $ ($ K \in \alpha $).
В этом случае лучи KA, KB, KC также лежат в плоскости $ \alpha $. Условие задачи ("лучи KA, KB, KC лежат в одной плоскости") выполнено. Однако, в общем случае, три точки A, B, C в плоскости не обязаны лежать на одной прямой (например, они могут быть вершинами треугольника). Если A, B, C не лежат на одной прямой, то заключение задачи неверно. Это означает, что либо данный случай исключается неявным условием (что типично для задач по стереометрии), либо доказываемое утверждение неверно в этой конфигурации. Поэтому для корректности задачи мы должны рассмотреть второй случай.

2. Случай, когда точка K не лежит в плоскости $ \alpha $ ($ K \notin \alpha $).
Это основной, невырожденный случай, который и подразумевается в условии задачи.

Проведем доказательство для этого случая:

1. По условию, точки A, B, C лежат в плоскости $ \alpha $.
2. По условию, лучи KA, KB, KC лежат в плоскости $ \beta $. Поскольку точки A, B, C являются точками этих лучей, они также принадлежат плоскости $ \beta $.
3. Из пунктов (1) и (2) следует, что точки A, B, C являются общими для двух плоскостей: $ \alpha $ и $ \beta $.
4. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не совпадают ($ \alpha \neq \beta $), так как точка K принадлежит плоскости $ \beta $, но по нашему предположению не принадлежит плоскости $ \alpha $.
5. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки.
6. Так как A, B, C — общие точки для различных плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, они должны лежать на прямой пересечения этих плоскостей.

Следовательно, точки A, B, C лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.