Номер 21, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

21. Каждые две из трех прямых пересекаются. Определите, сколько существует точек пересечения, учитывая, что прямые не принадлежат одной плоскости.

Пусть даны три прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$. По условию задачи, каждые две из них пересекаются, но все три прямые не лежат в одной плоскости.

Обозначим точки пересечения: $A$ — точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$; $B$ — точка пересечения прямых $l_1$ и $l_3$; $C$ — точка пересечения прямых $l_2$ и $l_3$. Нам необходимо найти количество различных точек среди $A$, $B$ и $C$.

Рассмотрим два логически возможных варианта.

Вариант 1: Все три точки пересечения $A, B, C$ различны.

Если точки $A, B, C$ различны, то прямая $l_1$ определяется двумя точками $A$ и $B$. Прямая $l_2$ определяется точками $A$ и $C$. Прямая $l_3$ определяется точками $B$ и $C$. Три различные точки $A, B, C$ (которые не могут лежать на одной прямой, иначе все три прямые $l_1, l_2, l_3$ совпали бы) задают единственную плоскость. Так как каждая из прямых $l_1, l_2, l_3$ проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости, то все три прямые целиком лежат в этой плоскости. Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые не принадлежат одной плоскости. Следовательно, этот вариант невозможен.

Вариант 2: Хотя бы две из точек пересечения совпадают.

Допустим, точки $A$ и $B$ совпадают. Обозначим эту общую точку как $P$. Поскольку $A$ — это точка пересечения $l_1$ и $l_2$, а $B$ — точка пересечения $l_1$ и $l_3$, то точка $P$ принадлежит одновременно всем трем прямым: $l_1$, $l_2$ и $l_3$.

Теперь рассмотрим третью точку пересечения $C$, которая является пересечением прямых $l_2$ и $l_3$. Так как точка $P$ лежит и на $l_2$, и на $l_3$, она и является их точкой пересечения. Учитывая, что две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке, мы приходим к выводу, что точка $C$ также совпадает с точкой $P$.

Таким образом, все три точки пересечения совпадают: $A = B = C = P$. Это означает, что существует только одна точка пересечения.

Такая конфигурация возможна и не противоречит условию о некомпланарности (непринадлежности одной плоскости). Например, три оси координат в трехмерной декартовой системе ($Ox, Oy, Oz$) пересекаются в одной точке (начале координат), но не лежат в одной плоскости.

Следовательно, единственно возможная ситуация, удовлетворяющая всем условиям, — это когда все три прямые пересекаются в одной общей точке.

Ответ: 1