Номер 15, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

15. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 13 см, а апофема — 12 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этой пирамиды.

Для нахождения площадей боковой и полной поверхностей правильной шестиугольной пирамиды сначала необходимо определить длину стороны её основания. Пусть боковое ребро равно $l = 13$ см, апофема (высота боковой грани) равна $h_a = 12$ см, а сторона основания — $a$.

Боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Апофема является высотой этого треугольника, опущенной на сторону основания. Она делит боковую грань на два равных прямоугольных треугольника, в которых гипотенузой является боковое ребро $l$, одним катетом — апофема $h_a$, а вторым катетом — половина стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения и найдем $a$:

$13^2 = 12^2 + (\frac{a}{2})^2$

$169 = 144 + (\frac{a}{2})^2$

$(\frac{a}{2})^2 = 169 - 144 = 25$

$\frac{a}{2} = \sqrt{25} = 5$ см

$a = 2 \cdot 5 = 10$ см

Теперь, зная сторону основания, мы можем вычислить требуемые площади.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.

Периметр правильного шестиугольника сo стороной $a = 10$ см равен:

$P = 6 \cdot a = 6 \cdot 10 = 60$ см

Теперь вычисляем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна 360 см².

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $a=10$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Подставляем значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 100 = 150\sqrt{3}$ см².

Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 360 + 150\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь полной поверхности равна $360 + 150\sqrt{3}$ см².